Exempel

Vi antar att vi har en mycket stor världsvid organisation, med flera miljoner medlemmar.
Man önskar få en överblick över medlemmarnas åldrar.

Därför gör man följande histogram:

T.ex. kan vi avläsa ovan att 25 % av medlemmarna har en ålder i spannet 30-40 år.

Mer detaljerat

För att få mer detaljerad information, kan man ändra klassbredden till 5 år istället för 10 år. Då kommer histogrammet att se ut såhär:

Observera att graderingen för den relativa frekvensen (på den lodräta axeln) behöver ändras för att passa till de nya klassbredderna.

Om man skulle fortsätta på samma sätt, att göra en finare och finare indelning, skulle man till slut få något som skulle se ut som en kurva.
Den kurvan kallas ‘relative frequency distribution’, och förutsätter att man har en kontinuerlig variabel. Men vi kan betrakta ålder som en kontinuerlig variabel, om vi tänker att vi anger åldrar som t.ex. 35,567 år.

Frågan här är hur den lodräta axeln ska graderas.

Svaret är att det inte går att använda samma avläsningsmetod som i histogrammen. Det går nämligen inte att hitta en gradering som fungerar för en sådan kurva.
Istället får man ordna grafens skala så att den totala arean under kurvan är 1 (dvs 100 %).
I grafen nedan är alltså arean av det gröna området lika med 1.

Tolkningen av en sådan ‘relative frequency distribution’ är att den relativa frekvensen mellan två värden a och b är detsamma som arean under kurvan mellan a och b.

Den totala arean under en sådan ‘relative frequency distribution’ är alltid 1 (dvs 100 %).

Exempel

Om man vill veta hur stor andel av medlemmarna som har en ålder i spannet 20-35 år, så får man det genom att beräkna arean under kurvan mellan 20 och 35 (markerat i figuren nedan)

När vi kommer till kapitel 4, ska vi lära oss göra den typen av beräkningar. (För att beräkna areor under kurvor, används det matematiska begreppet integral.)

För den som är nyfiken kan jag berätta att arean är ca 0.515, så det är allstå ca 51.5 % av medlemmarna i föreningen som är mellan 20 år och 35 år.

(Man måste veta formeln för funktionen som ger upphov till grafen för att kunna beräkna detta.)

Centralmått

Centralmått är t.ex. medelvärde och median.

Spridningsmått

Spridningsmått är t.ex. standardavvikelse och kvartilavvikelse.
Kvartilavvikelsen definieras som halva kvartilavståndet, dvs \(\frac{Q_3-Q_1}{2}\).

Varians är detsamma som standardavvikelse upphöjt till 2.

Vanliga beteckningar

För de numeriska mått som förekommer är beteckningarna olika när det gäller population respektive stickprov.

Mått	Beteckning i population	Beteckning i stickprov
Storlek	\(N\)	\(n\)
Medelvärde	\(\mu\)	\(\bar{y}\)
Standardavvikelse	\(\sigma\)	\(s\)
Varians	\(\sigma^2\)	\(s^2\)

Två exempel på avläsning av tabellen:

Beteckningen för antalet element i en population är \(N\).
Beteckningen för standardavvikelsen i ett stickprov är \(s\).

Kommentar: Den intressanta variabeln som vi ska tillämpa måtten på heter \(y\).

Matematisk beteckning: Summasymbolen

Under kursen förekommer många matematiska beteckningar,begrepp och beräkningsmetoder. Vi tar upp dem allt eftersom de dyker upp i kursen.

Här kommer den första matematiska beteckningen; Summasymbolen

Länk: [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-induktionsbevis/talfoljder]

Skrolla ned till rubriken Summasymbolen och läs där.

Gör sedan följande uppgifter:

Exempel 1

1a) Beräkna summan \(\displaystyle\sum_{m=1}^4 2^m\)

1b) Beräkna summan \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 2^k\)

1c) Beskriv följande summa: \(2+4+6+8+10+…\)

1d) Beräkna följande summa: \(\displaystyle\sum_{n=3}^5 (n-2)^2\)

Lösningar

1a) \(\displaystyle\sum_{m=1}^4 2^m=2^1+2^2+2^3+2^4=30\)

1b) \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 2^k=2^1+2^2+2^3+2^4=30\)

Beteckningen för summationsvariabeln/summationsindex spelar ingen roll; i uppgift 1a heter denna “m”, och i uppgift uppgift 1b heter den “k”.

1c) Till exempel \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} 2i\)

1d) \(\displaystyle\sum_{n=3}^5 (n-2)^2=1^2+2^2+3^2=14\)

RÄKNEREGLER: Man kan summera termerna i vilken ordning man vill.
ETT EXEMPEL:

\(\displaystyle\sum_{n=3}^5 (n^2-4n+4)=\)

\(\displaystyle\sum_{n=3}^5 n^2 -\sum_{n=3}^5 4n+ \sum_{n=3}^5 4=\)

\(\displaystyle\sum_{n=3}^5 n^2 -4 \cdot \sum_{n=3}^5 n+ 4 \cdot \sum_{n=3}^5 1=\)

\((3^2+4^2+5^2)-4 \cdot (3+4+5) + 4 \cdot (1+1+1)=\) \(50 -4 \cdot 12 + 4 \cdot 3 = 14\)

Jämför detta med beräkningen av 1d.
NOTERA att \((n-2)^2=(n^2-4n+4)\)

Exempel 2 Här handlar det om följande tre observationer av variabeln \(y\):
\(y_1=5\), \(y_2=-7\), \(y_3=6\)

2a) Bestäm \(\displaystyle\sum_{i=1}^3 y_i\)

2b) Bestäm \(\displaystyle\sum_{i=1}^3 (y_i-2)\)

2c) Bestäm \(\displaystyle\sum_{i=1}^3 y_i^2\)

2d) Bestäm \(\displaystyle \left( \sum_{i=1}^3 y_i \right)^2\)

Lösningar

2a) \(\displaystyle\sum_{i=1}^3 y_i=y_1+y_2+y_3=5+(-7)+6=4\)

2b) \(\displaystyle\sum_{i=1}^3 (y_i-2)=(y_1-2)+(y_2-2)+(y_3-2)=\) \(3+(-9)+4=-2\)

2c) \(\displaystyle\sum_{i=1}^3 y_i^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2=25+49+36=110\)

2d) Från 2a har vi att \(\displaystyle\sum_{i=1}^3 y_i=4\).

Då blir \(\displaystyle \left( \sum_{i=1}^3 y_i \right)^2=4^2=16\)

Användning av summasymbolen i beräkningsformler för numeriska mått

Vi låter \(y_i\) beteckna observation nummer i av variabeln \(y\):