1) iid

Om  \(Y_1\)  ,  \(Y_2\)  , … ,  \(Y_n\)  
* är ömsesidigt oberoende    och
* kommer från samma fördelning

säger vi att de är iid
(independent , identically distributed )

2) Slumpmässigt stickprov

… av storlek \(n=2\)

är ett observerat  par  \(y_1\)  ,  \(y_2\)  av två stycken iid slumpvariabler  \(Y_1\)  ,  \(Y_2\)  .

… av allmän storlek \(n\)

är en observerad uppsättning  \(y_1\)  ,  \(y_2\)  , … ,  \(y_n\)  av  \(n\)  stycken iid slumpvariabler  \(Y_1\)  ,  \(Y_2\)  , … ,  \(Y_n\)  .

3) En statistika (på engelska ‘a statistic’)

är en funktion av en uppsättning iid  slumpvariabler  \(Y_1\)  ,  \(Y_2\)  , … ,  \(Y_n\)  

Exempel på statistikor  \(U_1\)  och  \(U_2\)  

\(U_1=\displaystyle \frac{ Y_1+Y_2+… +Y_n}{n}\)

Denna statistika  betecknas oftast  \(\bar{Y}\)  .

.

\(U_2= \frac{ \bigl(Y_1-\bar{Y} \bigr )^2+\bigl(Y_2-\bar{Y} \bigr )^2+… +\bigl(Y_n-\bar{Y} \bigr )^2}{n-1}\)

Denna statistika  betecknas oftast  \(S^2\)  .

Exemplet

\(\displaystyle E \bigl(\bar{Y} \bigr)\)  =  \(\displaystyle \sum_{\bar{y}\in S_{\bar{Y}}} (\bar{y} \cdot p(\bar{y}))\)  =  \(1\cdot\frac{1}{36} + 1.5\cdot\frac{2}{36}\) \(+ … +6\cdot\frac{1}{36}\)  =  \(3.5\)  .

Vi ser här att  \(E\left( \bar{Y}\right)\)  =  \(E\left( Y_{i}\right)\)  =  \(\mu\)  =  \(3.5\)  .

Allmänt

Väntevärdet  \(E\left( \bar{Y}\right)\)  för samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet  blir detsamma som populationsmedelvärdet.

Bevis

Utnyttja sats 5.12a  :
\(E\left( a_{1}Y_{1}+a_{2}Y_{2} + \cdot \cdot \cdot +a_{n}Y_{n} \right)\)  = \(a_{1}E\left( Y_{1}\right)+a_{2}E\left( Y_{2}\right)\) \(\cdot \cdot \cdot + a_{n}E\left( Y_{n}\right)\)

Med  \(a_{i}=\frac{1}{n}\)  får vi då:

\(E\left( \bar{Y}\right)\)  =  \(E\left( \frac{1}{n}\sum Y_i\right)\)  =  \(\frac{1}{n} E\left( Y_{1}+Y_{2}+…+Y_{n}\right)\)  =  \(\frac{1}{n}\Bigl( E\left( Y_{1}\right) +E\left( Y_{2}\right) +…+E\left(Y_{n}\right) \Bigr)\)  =  \(\frac{1}{n}n\mu =\mu\)  .

Exemplet

\(V \bigl(\bar{Y} \bigr)\)  =  \(\left( 1-3.5\right)^{2}\cdot \frac{1}{36}\)  +  \(\left( 1.5-3.5\right)^{2}\cdot \frac{2}{36}\) \(+ …\left( 6-3.5\right)^{2}\cdot \frac{1}{36}\)  =  \(\frac{105}{72}\) \(\approx 1.4583\)

Allmänt

Variansen  \(V\left( \bar{Y}\right)\)  för samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet  blir likamed  \(\frac{V(Y)}{n}\)  .

Bevis

Utnyttja att om  \(Y_1\)  ,  \(Y_2\)  , … ,  \(Y_n\)  är ömsesidigt oberoende så gäller följande (sats 5.12b) :

\(V\left( a_{1}Y_{1}+a_{2}Y_{2} + \cdot \cdot \cdot +a_{n}Y_{n} \right)\)  = \(a_{1}^2 V\left( Y_{1}\right)\)  + \(a_{2}^2 V\left( Y_{2}\right)\)  + \(\cdot \cdot \cdot + a_{n}^2 V\left( Y_{n}\right)\)

Med  \(a_{i}=\frac{1}{n}\)  får vi då:

\(V\left( \bar{Y}\right)\)  =  \(V\left( \frac{1}{n^2}\sum Y_i\right)\)  =  \(\frac{1}{n^2} V\left( Y_{1}+Y_{2}+…+Y_{n}\right)\)  =  \(\frac{1}{n^2}\Bigl( V\left( Y_{1}\right) +V\left( Y_{2}\right) +…+V\left(Y_{n}\right) \Bigr)\)  =  \(\frac{1}{n^2}n\sigma^2 =\frac {\sigma^2}{n}\)  .

Exemplet

Fördelningen för samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet när  \(n=2\)   har vi konstaterat ser ut såhär:

För att se formen kan man gör ett stolpdiagram för samplingfördelningen. Då kommer man att få en “triangelformad” fördelning med en topp för  \(\bar{y} = 3.5\) .

Allmänt

Formen för samplingfördelningen kommer att få olika former för olika stickprovsstorlekar  \(n\) .

När det gäller  \(n=2\)  var det inte så svårt att få fram den exakta samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet: Med hjälp av resonemanget i kap 6 del 1 fick vi fram tabellen här ovanför.

När det gäller större stickprovsstorlekar blir det mycket tidskrävande att ta fram den exakta samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet för hand.

Ett alternativ till att ta fram samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet för hand, är att simulera den fördelningen.

I detta dokument är gjort simuleringar av samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet för olika stickprovsstorlekar:

Samplingfordelningar.pdf

Efter den första bilden (som är en simulerad bild av populationsfördelningen)
kommer en simulering av samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet då  \(n=2\)  . Du ser att det blir mycket likt den teoretiska fördelningen. (Beräkna 1/36, 2/36 o.s.v. och jämför med procenttalen i grafen.)

I nästa bild kommer en simulering av samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet då  \(n=3\)  .

Därefter kommer simuleringar av samplingfördelningarna för stickprovsmedelvärdet då  \(n=4\)  ,  \(n=10\)   och  \(n=30\) .