Härledning av metodens formel när \(U=a Y + b\) ; fall 1 där \(a>0\)

 

\(F_U(u)\)  =  \(P(U \leq u)\)  =  \(P(a Y + b \leq u)\)  =  \(P(a Y \leq u – b)\)  =  \(P \left(Y \leq \frac{u – b}{a} \right)\)  =  \(P \left( Y \leq \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right)\)  =  \(F_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right)\)  .

 

För att sedan få fram  \(f_U(u)\)  behöver vi derivera  \(F_U(u)\)  .

 

---

Eftersom  \(F_U(u)\)  =  \(F_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right)\)  

är en sammansatt funktion, som består av den yttre funktionen  \(F_Y\)  och den inre funktionen  \(\frac{1}{a} u – \frac{b}{a}\)  , så behöver kedjeregeln för derivering av sammansatta funktioner  användas.

Då kanske du behöver repetera följande (länken fanns även i kapitel 4.)

Länk om derivata av sammansatta funktioner  : [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/derivata-och-differentialekvationer/derivatan-av-sammansatta-funktioner]

 

I vårt fall med  \(F_U(u)\)  =  \(F_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right)\)  

så blir derivatan av  \(F_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right)\)  lika med

 \(f_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right) \cdot \frac{1}{a}\)  

 

Yttre derivatan är  \(f_Y\)   (derivatan av  \(F_Y\)  .)
och inre derivatan är  \(\frac{1}{a}\)   (derivatan av  \(\frac{1}{a} u – \frac{b}{a}\)  . )

 

Beteckningen \(\frac{dg}{du}\)

Om man har en funktion  \(g(u)\)  och vill betona att derivatan beräknas just med avseende på variabeln  \(u\)  , kan man använda beteckningen  \(\frac{dg}{du}\)  som ett alternativ istället för beteckningen  \(g'(u)\)  .

 

Man kan också använda den beteckningen på följande sätt:

\(\displaystyle \frac{d\bigl(\frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \bigr)}{du} =\textstyle \frac{1}{a}\)

---

 

Slutsatsen blir att
 \(f_U(u) = f_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right) \cdot \frac{1}{a}\)

 

För att få en enklare formel är det lämpligt att döpa den inre funktionen  \(\frac{1}{a} u – \frac{b}{a}\)  till något lämpligt i sammanhanget.

 

Ursprunget till formeln för den inre funktionen är att  \(u=a y + b\)  är ekvivalent med  \(y =\frac{1}{a} u – \frac{b}{a}\) . (Det får man om man löser ut  \(y\)  ur den första formeln.)

 

Och formeln  \(u=a y + b\)   kommer från att  \(h(y)=a y + b\)  .   Med matematik-språk används beteckningen invers för ett sådant “omvänt” samband:
 \(u=h(y) \Leftrightarrow y=h^{-1}(u)\)  .

 

Beteckningen  \(h^{-1}\)  betyder alltså inversen  till  \(h\)  .

Om du vill veta mer om vad invers innebär,kan du kolla i början på följande video:

[https://www.youtube.com/watch?v=kRZ66ia8ytY]

 

Vi har kommit fram till en lämplig beteckning för den inre funktionen  \(\frac{1}{a} u – \frac{b}{a}\)  ; den betecknas  \(h^{-1}(u)\)  .

Vi har alltså  \(h^{-1}(u) = \frac{1}{a} u – \frac{b}{a}\)  

 

Vår slutsats från tidigare;
att  \(f_U(u) = f_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right) \cdot \frac{1}{a}\)

kan då även skrivas på följande sätt:

\(f_U(u) = f_Y \left( h^{-1}(u) \right) \cdot {h^{-1}}'(u)\)   eller

 \(f_U(u)\)  =  \(f_Y \left( h^{-1}(u) \right) \cdot \displaystyle \frac{d\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr)}{du}\)

 

Härledning av metodens formel när \(U=a Y + b\) ; fall 2 där \(a<0\)

 

\(F_U(u)\)  =  \(P(U \leq u)\)  =  \(P(a Y + b \leq u)\)  =  \(P(a Y \leq u – b)\)

 
I nästa steg skiljer det sig från fall 1; Eftersom  \(a<0\)  gäller  \(aY \leq u – b \Leftrightarrow Y \geq \frac{u – b}{a}\) .

 
Vi börjar från början igen:

\(F_U(u)\)  =  \(P(U \leq u)\)  =  \(P(a Y + b \leq u)\)  =  \(P(a Y \leq u – b)\)  =  \(P \left(Y \geq \frac{u – b}{a} \right)\)  =  \(1 \ \ — \ \ P \left(Y \leq \frac{u – b}{a} \right)\)  =  \(1 \ \ — \ \ P \left( Y \leq \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right)\)  =  \(1 \ \ — \ \ F_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right)\)  .

För att sedan få fram  \(f_U(u)\)  behöver vi derivera  \(F_U(u)\)  .

 

Derivatan av den första termen (  \(1\)  ) blir  \(0\)  .

Derivatan av  \(F_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right)\)
kom vi fram till tidigare att den blev

 \(f_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right) \cdot \frac{1}{a}\)  

 

Sammantaget får vi då att derivatan av \(F_U(u)\)  =  \(1 \ \ — \ \ F_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right)\)  .

blir  \(0 \ \ — f_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right) \cdot \frac{1}{a}\)

dvs

 \(f_U(u) = \ – f_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right) \cdot \frac{1}{a}\)  .

 

I fall 2 har vi ju att  \(a\)  är ett negativt tal, så även faktorn  \(\frac{1}{a}\)  blir negativ.
Om vi byter den faktorn till  \(\left\vert \frac{1}{a} \right\vert\)  så byter därför hela uttrycket tecken, och därför kan vi ta bort minustecknet i början av hela uttrycket.

  I fall 1 är det ju inga problem;  \(\frac{1}{a}\)  =  \(\left\vert \frac{1}{a} \right\vert\)  eftersom  \(a\)  är ett positivt tal.

 

Metodens formel när \(U=a Y + b\) ; både fall 1 och fall 2

I båda fallen får vi alltså att metodens formel blir  \(f_U(u)\)  =  \(f_Y \left( \frac{1}{a} u – \frac{b}{a} \right) \cdot \left\vert \frac{1}{a} \right\vert\)  .

 

Med beteckningen  \(h(y)=a y + b\)  kan vi skriva metodens formel som
\(f_{U}\left( u\right)\) = \(f_{Y}\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr) \cdot \displaystyle \left\vert \frac{d\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr)}{du}\right\vert\)

 

Härledning av metodens formel för en allmän funktion \(h(y)\)

Metodens formel gäller inte bara för  \(h(y)=a y + b\)  , utan den gäller för alla funktioner  \(h(y)\)  som är antingen växande eller avtagande.

Den allmänna härledningen finns i texten i kursbokens kap 6.4

 

Exempel 1

Om  \(Y \sim Re(0,2)\)  och  \(U=10 Y + 5\),  vilken fördelning får  \(U\)  ?

Lösning

Vi har  \(f_Y(y) = 0.5\)  för  \(0 \leq y \leq 2\)  

Vi har  \(h(y)=10 y + 5\)  .
Om vi löser ut  \(y\)  ur formeln  \(u=10 y + 5\)  så får vi  \(y = \frac{1}{10} u – \frac{5}{10}\)  

Detta innebär att  \(h^{-1}(u) = \frac{1}{10} u – \frac{5}{10}\) .

 

Nu använder vi transformationsmetodens formel:

\(f_{U}\left( u\right)\) = \(f_{Y}\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr) \cdot \displaystyle \left\vert \frac{d\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr)}{du}\right\vert\)  .

Eftersom  \(f_Y(y) = 0.5\)  är en konstant funktion, blir även  \(f_{Y}\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr) = 0.5\) .

Vi får att derivatan av funktionen  \(h^{-1}(u)\)  blir  \(\frac{1}{10}\)  , dvs  \(\left\vert \frac{d\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr)}{du}\right\vert\)  =  \(\left\vert \frac{1}{10}\right\vert\)  =  \(\frac{1}{10}\).

 

Sammansatt får vi \(f_{U}\left( u\right)\) = \(0.5 \cdot \frac{1}{10}\)= \(0.05\)  .

Eftersom  \(f_Y(y) = 0.5\)  gäller för  \(0 \leq y \leq 2\)   och  \(u=10 y + 5\)  , så gäller  \(f_U(u) = 0.05\)   för  \(5 \leq u \leq 25\)  

 

Svar:  \(f_U(u) = 0.05\)  ,  \(5 \leq u \leq 25\)  

 

Exempel 2

Om  \(Y \sim Re(1,5)\)  och  \(U=2 Y^2 + 3\),  vilken fördelning får  \(U\)  ?

 

Lösning

Vi har  \(f_Y(y)=\frac{1}{4}\)  för  \(1 \leq y \leq 5\) .

Vi har  \(h(y)=2 y^2 + 3\)  .
Om vi löser ut  \(y\)  ur formeln  \(u=2 y^2 + 3\)  så får vi  \(y = \sqrt{\frac{u – 3}{2}}\)   eller  \(y = – \sqrt{\frac{u – 3}{2}}\)  

Men eftersom  \(1 \leq y \leq 5\)  , så bortfaller det negativa alternativet.

Detta innebär att  \(h^{-1}(u) = \sqrt{\frac{u – 3}{2}}\)  =  \(\left( \frac{1}{2} u – \frac{3}{2} \ \right)^{\frac{1}{2}}\)  .

 

Nu använder vi transformationsmetodens formel:

\(f_{U}\left( u\right)\) = \(f_{Y}\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr) \cdot \displaystyle \left\vert \frac{d\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr)}{du}\right\vert\)  .

Eftersom  \(f_Y(y) = \frac{1}{4}\)  är en konstant funktion, blir även  \(f_{Y}\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr) = \frac{1}{4}\)  .

Vi får att derivatan av funktionen  \(h^{-1}(u)\)  blir   \(\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2}u-\frac{3}{2} \right)^{ – \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\)  =  \(\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2}u-\frac{3}{2} \right)^{ – \frac{1}{2}}\)  =  \(\frac{ \sqrt{2}}{4 \cdot \sqrt{u-3} }\)  ,

dvs  \(\left\vert \frac{d\Bigl( h^{-1}(u) \Bigr)}{du}\right\vert\)  =  \(\left\vert \frac{ \sqrt{2}}{4 \cdot \sqrt{u-3} }\right\vert\)  =  \(\frac{ \sqrt{2}}{4 \cdot \sqrt{u-3} }\).

 

Sammansatt får vi \(f_{U}\left( u\right)\)  =  \(\frac{1}{4} \cdot \frac{ \sqrt{2}}{4 \cdot \sqrt{u-3} }\)  =  \(\frac{ \sqrt{2}}{16 \cdot \sqrt{u-3} }\)  .

Eftersom  \(f_Y(y) = \frac{1}{4}\)  gäller för  \(1 \leq y \leq 5\)   och  \(u=2 y^2 + 3\)  , så gäller  \(f_{U}\left( u\right)\)  =  \(\frac{ \sqrt{2}}{16 \cdot \sqrt{u-3} }\)    för  \(3 \leq u \leq 53\)  

 

Svar:  \(f_{U}\left( u\right)\)  =  \(\frac{ \sqrt{2}}{16 \cdot \sqrt{u-3} }\) ,  \(3 \leq u \leq 53\)