Steg 1

Bestäm  \(F_Y(y)\)

Vi vet att  \(F_Y(y)\)  är en primitiv funktion till  \(f_Y(y)\)  för  \(0 \leq y \leq 2\) .

Det vi behöver veta är värdet på konstanten C, men det kan vi bestämma genom att utnyttja antingen  \(F_Y(0)=0\)  eller  \(F_Y(2)=1\)

Vi får formeln  \(F_Y(y)=0.5y+C\)  , och villkoren ovan ger att  \(C = 0\) .

\(\displaystyle F_Y(y)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & y<0 \\ 0.5y, & 0 \leq y \leq 2 \\ 1, & y > 2 \end{array} \right.\)

Steg 2

Bestäm  \(F_U(u)\)

I detta steg behöver vi använda att  \(U=10 Y + 5\)  ,
samt att denna formel gäller för  \(0 \leq y \leq 2\) .

\(F_U(u)\)  =  \(P(U \leq u)\)  =  \(P(10 Y + 5 \leq u)\)  =  \(P(10 Y \leq u – 5)\)  =  \(P(Y \leq \frac{u – 5}{10})\)  =  \(P( Y \leq 0.1u – 0.5)\)    (1)

Använd nu formeln för  \(F_Y(y)\) =  \(0.5 \cdot y\)  enligt ovan.

Eftersom  \(0 \leq y \leq 2\)  och  \(u=10 y + 5\)  får vi att formeln för  \(F_U(u)\)  gäller för  \(5 \leq u \leq 25\)  .

Eftersom  \(F_Y(y)\)  =  \(P(Y \leq y)\)  , får vi att  (1)  ger \(F_U(u)\)  =   \(P( Y \leq 0.1u – 0.5)\)  =   \(F_Y(0.1u – 0.5)\)  =  \(0.5 \cdot (0.1u – 0.5)\)  =  \(0.05u – 0.25\)  .

Vi får
\(\displaystyle F_U(u)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & u<5 \\ 0.05u – 0.25, & 5 \leq u \leq 25 \\ 1, & u > 25 \end{array} \right.\)

Steg 3

Bestäm  \(f_U(u)\)

För att komma från  \(F_U(u)\)  till  \(f_U(u)\)  är det bara att derivera;

\(f_U(u)\)  =  \(F’_U(u)\)  
Det ger \(\displaystyle f_U(u)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & u<5 \\ 0.05, & 5 \leq u \leq 25 \\ 0, & u > 25 \end{array} \right.\)

Detta är samma sak som att säga att \(U \sim Re(5,25)\)

Bilden av proceduren igen:

Steg 1

Bestäm  \(F_Y(y)\)

Vi vet att  \(F_Y(y)\)  är en primitiv funktion till  \(f_Y(y)\)  för  \(1 \leq y \leq 5\) .

Det vi behöver veta är värdet på konstanten C, men det kan vi bestämma genom att utnyttja antingen  \(F_Y(1)=0\)  eller  \(F_Y(5)=1\)

Vi får formeln  \(F_Y(y)=\frac{1}{4} y+C\)  , och villkoren ovan ger att  \(C = -\frac{1}{4}\) .

\(\displaystyle F_Y(y)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & y<1 \\ \frac{1}{4} y -\frac{1}{4}, & 1 \leq y \leq 5 \\ 1, & y > 5 \end{array} \right.\)

Steg 2

Bestäm  \(F_U(u)\)

I detta steg behöver vi använda att  \(U=2 Y^2 + 3\)  ,
samt att denna formel gäller för  \(1 \leq y \leq 5\) .

Eftersom  \(1 \leq y \leq 5\)  och  \(u=2 y^2 + 3\)  är växande för  \(1 \leq y \leq 5\)  får vi att formeln för  \(F_U(u)\)  gäller för  \(5 \leq u \leq 53\)  .

\(F_U(u)\)  =  \(P(U \leq u)\)  =  \(P(2 Y^2 + 3 \leq u)\)  =  \(P(2 Y^2 \leq u – 3)\)  =  \(P( Y^2 \leq \frac{u – 3}{2})\)

Om \(Y^2 \leq \frac{u – 3}{2}\)  , innebär det att

\(-\sqrt{\frac{u – 3}{2}} \leq Y \leq \sqrt{\frac{u – 3}{2}}\)

Lite repetition från kap 4 del 1

Allmänt:
\(P(a \leq Y \leq b)\)  = \(\displaystyle \int_a^b f(y) \ dy\)  =  \(F(b)-F(a)\)

Eftersom  \(f_Y(y)=0\) för  \(y<1\)  , betyder det att

\(P \left(-\sqrt{\frac{u – 3}{2}} \leq Y \leq \sqrt{\frac{u – 3}{2}} \: \right)\)  =  \(P \left(1 \leq Y \leq \sqrt{\frac{u – 3}{2}} \: \right)\)

Både  \(1\)  och  \(\sqrt{\frac{u – 3}{2}}\)  finns i området  \(1 \leq y \leq 5\)   (eftersom  \(5 \leq u \leq 53\)  )

Och i detta område har vi nyss konstaterat att sannolikhetsberäkningar kan göras med  \(f_Y(y)=\frac{1}{4}\)  respektive  \(F_Y(y)=\frac{1}{4} y-\frac{1}{4}\)  

Detta (se repetitionen ovan) innebär att   \(P \left(1 \leq Y \leq \sqrt{\frac{u – 3}{2}} \: \right)\)  =  \(F_Y \left(\sqrt{\frac{u – 3}{2}} \: \right) – F_Y(1)\)  .

Då har vi allt vi behöver för hela “kedjan”;

\(F_U(u)\)  =  \(P(U \leq u)\)  =  \(P(2 Y^2 + 3 \leq u)\)  =  \(P(2 Y^2 \leq u – 3)\)  =   \(P( Y^2 \leq \frac{u – 3}{2})\)  =  \(P \left(-\sqrt{\frac{u – 3}{2}} \leq Y \leq \sqrt{\frac{u – 3}{2}} \: \right)\)  =  \(P \left(1 \leq Y \leq \sqrt{\frac{u – 3}{2}} \: \right)\)  =  \(F_Y \left(\sqrt{\frac{u – 3}{2}} \right) – F_Y(1)\)   =   \(\frac{1}{4} \cdot \sqrt{\frac{u – 3}{2}} -\frac{1}{4} \, \, — 0\)   =   \(\frac{1}{4} \cdot \sqrt {\frac{1}{2}u-\frac{3}{2}} -\frac{1}{4}\)   =   \(\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2}u-\frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{4}\)

Vi får
\(\displaystyle F_U(u)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & u<5 \\ \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2}u-\frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{4}, & 5 \leq u \leq 53 \\ 1, & u > 53 \end{array} \right.\)

Steg 3

Bestäm  \(f_U(u)\)

För att komma från  \(F_U(u)\)  till  \(f_U(u)\)  är det bara att derivera;

\(f_U(u)\)  =  \(F’_U(u)\)  

Derivering:

\(F_U(u)\)  =  \(\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2}u-\frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{4}\)  ger

 \(F’_U(u)\)  =  \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2}u-\frac{3}{2} \right)^{ – \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}-0\)  =  \(\frac{1}{16} \cdot \left( \frac{1}{2}u-\frac{3}{2} \right)^{ – \frac{1}{2}}\)  =  \(\frac{ \sqrt{2}}{16 \cdot \sqrt{u-3} }\)

Vi får alltså \(\displaystyle f_U(u)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & u<5 \\ \frac{ \sqrt{2}}{16 \cdot \sqrt{u-3} }, & 5 \leq u \leq 53 \\ 0, & u > 53 \end{array} \right.\)