Chapter 5 Multivariate Probability Distributions
Den bivariata normalfördelningen (Kap 5.10)
Här har vi ett exempel på en bivariat kontinuerlig sannolikhetsfördelning.
Tidigare nämndes (i inledningen till kap 5.2) att vi inte går in på bivariata kontinuerliga sannolikhetsfördelningar för att de matematiska metoderna kräver mer än det gör i fallet med r de bivariata diskreta sannolikhetsfördelningarna.
Men jag hoppas att just det här avsnittet går att läsa ändå. Annars får ni höra av er till mig (kursansvarig).
Jag påminner om att det inte räcker att beskriva fördelningarna för \(Y_1\) och \(Y_2\) var för sig, eftersom det troligen är så att variablerna påverkar varandra. Därför behöver man presentera en simultan sannolikhetsfördelning, så att man får med samverkan mellan de två slumpvariablerna \(Y_1\) och \(Y_2\)
När man har två kontinuerliga slumpvariabler \(Y_1\) och \(Y_2\), beskrivs den simultana sannolikhetsfördelingen av en simultan täthetsfunktion (eller simultan pdf ) \(f(y_1,y_2)\).
För att kunna beräkna sannolikheter när det gäller kontinuerliga slumpvariabler, behöver man kunna beräkna dubbelintegraler, och det ingår inte i den här kursen.
(Sannolikheten för att kombinationen \((y_1,y_2)\) ska hamna i ett visst område är lika med volymen mellan \((y_1,y_2)\)-planet och den yta som skapas av täthetsfunktion-grafen.)
Men när det gäller den bivariata normalfördelningen är det samma situation som för den vanliga envariabelsvarianten av normalfördelningen \(Y \sim N(\mu,\sigma ^2)\) (se kap 4.5):
Trots att vi har en formel för täthetsfunktionen, går det inte att lösa integralen exakt.
Vi får nöja oss med att räkna på några egenskaper för den bivariata normalfördelningen, men vi börjar med att titta på en bild av hur täthetsfunktionen kan se ut för en bivariat normalfördelning kan se ut:
BILD 1:
En bivariat normalfördelning har fem parametrar: \(\mu_1,\mu_2,\sigma_1 ^2,\sigma_2 ^2, \rho\)
( \(\rho\) står för korrelationen mellan \(Y_1\) och \(Y_2\) )
Den bivariata normalfördelningen i BILD 1 har \(\mu_1=0,\mu_2=0,\sigma_1 ^2=1^2,\sigma_2 ^2=1^2, \rho=0\)
(Man skulle kunna kalla den för “standard bivariat normalfördelning”)
Exempel 16
16a) Studera BILD 1 och bestäm \(P(Y_1 \leq 0 ,Y_2 \leq 0)\).
16b) Studera BILD 1 och bestäm \(P(Y_1 \geq 0)\).
16c) Bestäm \(P(Y_1 \leq 1)\). Ledning: Vänta med 16c tills du läst om marginalfördelningar nedan.
Den bivariata normalfördelningen i BILD 1 betecknas \(\left( Y_{1},Y_{2}\right)\) \(\sim\) \(BVN\left( 0,0,1^{2},1^{2},0 \right)\) och den simultana sannolikhetsfördelningen har täthetsfunktionen
\(f(y_1,y_2)\) = \(\displaystyle \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2} \left(y_{1} ^{2}+y_{2} ^{2} \right)}\), \(-\infty <y_{1}<\infty\) , \(-\infty <y_{2}<\infty\)
Allmänt
En bivariat normalfördelning betecknas \(\left( Y_{1},Y_{2}\right)\) \(\sim\) \(BVN\left( \mu _{1},\mu _{2},\sigma_{1}^{2},\sigma _{2}^{2},\rho \right)\) och den simultana sannolikhetsfördelningen har täthetsfunktionen
\(f\left( y_{1},y_{2}\right)\) = \(\displaystyle \frac{e^{-\frac{1}{2} Q}}{2\pi \sigma _{1}\sigma_{2}\sqrt{ 1-\rho ^{2}}}\) för \(-\infty <y_{1}<\infty\) , \(-\infty <y_{2}<\infty\)
där \(Q=\frac{1}{1-\rho ^{2}} \left( \frac{\left( y_{1}-\mu _{1}\right) ^{2}}{\sigma _{1}^{2}}-2\rho \frac{\left(y_{1}-\mu _{1}\right) \left( y_{2}-\mu _{1}\right) }{\sigma _{1}\sigma _{2}}+\frac{\left( y_{2}-\mu _{2}\right) ^{2}}{\sigma _{2}^{2}}\right)\)
Kommentar om exemplet i BILD 1 När vi har \(\mu_1=0\) , \(\mu_2=0\) , \(\sigma_1 ^2=1^2\) , \(\sigma_2 ^2=1^2\) , \(\rho=0\)
blir \(Q=\frac{1}{1-0} \cdot \left( \frac{ y_{1} ^{2}}{1^{2}}-2\cdot 0 \cdot \frac{y_{1} y_{2}}{1 \cdot 1 }+\frac{ y_{2} ^{2}}{1^{2}} \right)\) = \(y_{1} ^{2}+y_{2} ^{2}\)
BILD 2 Här är en bild av den simultana täthetsfunktionen för \(\left( Y_{1},Y_{2}\right) \sim BVN\left( 1,3,2^{2},4^{2},0.8 \right)\):
Marginalfördelningar
Om \(\left( Y_{1},Y_{2}\right) \sim BVN\left( \mu _{1},\mu _{2},\sigma_{1}^{2},\sigma _{2}^{2},\rho \right)\)
så har vi följande marginalfördelningar:
För \(Y_{1}\): \(Y_1 \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)
För \(Y_{2}\): \(Y_2 \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)
Exempel 16, forts
16d) Bestäm de två marginalfördelningarna för BILD 1
16c) Bestäm \(P(Y_1 \leq 1)\) för BILD 1
16e) Bestäm marginalfördelningen för \(Y_{1}\) för BILD 2
16f) Bestäm \(P(Y_1 \geq 2)\) för BILD 2
Om oberoende och korrelation
Normalt gäller att följande är sant:
“\(Y_1\) och \(Y_2\) är oberoende” \(\Rightarrow \ \ Cov(Y_1,Y_2)=0\)
Ett undantag finns, där implikationen gäller åt båda hållen; om de två slumpvariablerna \(Y_1\) och \(Y_2\) kommer från en bivariat normalfördelning.
Så i detta delkapitel gäller;
“\(Y_1\) och \(Y_2\) är oberoende” \(\Leftrightarrow \ \ Cov(Y_1,Y_2)=0\)
När vi har två kontinuerliga slumpvariabler \(Y_1\) och \(Y_2\) som är oberoende, så gäller följande för täthetsfunktionerna: \(f(y_1,y_2)=f_1(y_1) \cdot f_2(y_2)\),
där \(f_1(y_1)\) är täthetsfunktionen för sannolikhetsfördelningen för marginalfördelningen för\(Y_1\),
och \(f_2(y_2)\) är täthetsfunktionen för sannolikhetsfördelningen för marginalfördelningen för\(Y_2\).
Exempel 17
17a) Kolla att \(f(y_1,y_2)=f_1(y_1) \cdot f_2(y_2)\) gäller för exemplet i BILD 1 .
(Du behöver nog kolla i kap 4.5 för att bestämma \(f_1\) och \(f_2\)).
17b) Bestäm \(f(y_1,y_2)\) för exemplet i BILD 2 genom att utgå från de två marginalfördelningarna, och multiplicera deras täthetsfunktioner.
Betingade eller villkorliga fördelningar
Den betingade fördelningen för \(Y_{1}\) givet \(Y_{2}=y_{2}\) är
\(\left( Y_{1}\left\vert Y_{2}=y_{2}\right. \right) \sim N\left( \mu_{1\left\vert Y_{2}=y_{2}\right. },\sigma _{1\left\vert Y_{2}=y_{2}\right.}^{2}\right)\) ,
där \(\mu _{1\left\vert Y_{2}=y_{2}\right. }=\mu _{1}+\rho \frac{\sigma _{1}}{\sigma _{2}}\left( y_{2}-\mu _{2}\right)\)
och \(\sigma _{1\left\vert Y_{2}=y_{2}\right. }^{2}=\sigma _{1}^{2}\left( 1-\rho^{2}\right)\)
Den betingade fördelningen för \(Y_{2}\) givet \(Y_{1}=y_{1}\) är
\(\left( Y_{2}\left\vert Y_{1}=y_{1}\right. \right) \sim N\left( \mu_{2\left\vert Y_{1}=y_{1}\right. },\sigma _{2\left\vert Y_{1}=y_{1}\right.}^{2}\right)\) ,
där \(\mu _{2\left\vert Y_{1}=y_{1}\right. }=\mu _{2}+\rho \frac{\sigma _{2}}{\sigma _{1}}\left( y_{1}-\mu _{1}\right)\)
och \(\sigma _{2\left\vert Y_{1}=y_{1}\right. }^{2}=\sigma _{2}^{2}\left( 2-\rho^{2}\right)\)
Exempel 18 handlar om BILD 2
18a) Bestäm den betingade fördelningen för \(Y_{1}\) givet \(Y_{2}=8\)
18b) Försök “rita in” den fördelningen i BILD 2.
18c) Bestäm \(P((Y_1 \geq 4)|(Y_2=8))\).
Svar Exempel 18
18b)
// add bootstrap table styles to pandoc tables $(document).ready(function () { $('tr.header').parent('thead').parent('table').addClass('table table-condensed'); });