Chapter 4 Continous Random Variables
ALLMÄNT: KOLLA ATT DE KAN ANVÄNDA FORMELSAMLINGEN, FÖRSTÅ BETECKNINGAR #Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler
Väntevärde och varians för kontinuerliga slumpvariabler (Kap 4.3)
Kapitel 4.4-4.7: Speciella kontinuerliga sannolikhetsfördelningar
“Lack-of-memory-property” för Exponentialfördelningen
Om vi har en händelse som inträffar slumpmässigt med avseende på tid/avstånd/volym etc, så finns det inget “minne”; sannolikheten för en ny händelse är alltid densamma, oavsett avståndet till händelsen före.
Det är samma sak med en tärning; den har inget minne. Det är samma sannolikhet att få en sexa oavsett om man slagit tärningen 10 gånger i rad utan att få en sexa som om man fått 10 sexor i rad.
Exempel
Till en viss affär anländer kunder slumpmässigt; i genomsnitt kommer det in 20 kunder per timme.
a) Bestäm sannolikheten för att affärsinnehavaren behöver vänta minst 5 minuter på första kunden.
b) Antag att affärsinnehavaren har väntat i 10 minuter utan att det kommit någon kund. Vad är då sannolikheten att hon behöver vänta ytterligare minst 5 minuter innan det kommer någon kund?
Lösning
Bilda slumpvariabeln Y=tiden i minuter till den första kunden. Med tidsenheten minuter har vi \(\lambda=\frac{1}{3}\) (Om det kommer 20 kunder per timme, kommer det 1/3 kund per minut, i genomsnitt.)
Alternativt kan vi använda kursbokens beteckning, som är \(\beta=3\) (i genomsnitt 3 minuter mellan varje kund).
Oavsett vilken beteckning vi använder, får vi följande täthetsfunktion för vår slumpvariabel: \(f(y)=\frac{1}{3} e^{-\frac{1}{3} y}, \ \ y > 0\)
a) \(P(Y \geq 5)=\displaystyle \int_5^{\infty} \frac{1}{3} e^{-\frac{1}{3} y} \ dy=\) \(\left[ \frac{1}{3} \frac{e^{-\frac{1}{3} y}}{-\frac{1}{3}}\right]_5^{\infty} =\) \(\left[ -e^{-\frac{1}{3} y} \right]_5^{\infty} =\)
\(\displaystyle 0- \left( -e^{-\frac{5}{3}} \right) = e^{-\frac{5}{3}} \approx 0.1889\)
b) Här har vi en betingad sannolikhet; givet att det har gått 10 minuter utan kund, ska vi bestämma sannolikheten att det går minst 10+5 minuter tills första kunden kommer.
Den sökta sannolikheten betecknas \(P(Y \geq 15|Y \geq 10)\).
Från kapitel 2 repeterar vi definitionen: \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Här får vi då \(P(Y \geq 15|Y \geq 10)=\frac{P((Y \geq 15) \cap (Y \geq 10))}{P(Y \geq 10)}\)
Händelsen \((Y \geq 15) \cap (Y \geq 10)\) som finns i täljaren kan förenklas till \((Y \geq 15)\).
(Alla tal som är både större än 15 och större än 10, måste vara större än 15.)
Alltså: \(P(Y \geq 15|Y \geq 10)=\frac{P((Y \geq 15) \cap (Y \geq 10))}{P(Y \geq 10)}=\) \(\frac{P(Y \geq 15)}{P(Y \geq 10)}\)
Om vi för både täljaren och nämnaren gör på samma sätt som i a-uppgiften, kommer vi att få \(\frac{P(Y \geq 15)}{P(Y \geq 10)}=\) \(\frac{e^{-\frac{10}{3}}}{e^{-\frac{15}{3}}}\)
vilket ger exakt samma svar som i a-uppgiften!
Allmänt
Exemplet ovan bekräftar den påstådda “Lack-of-memory-egenskapen” för Exponentialfördelningen.
Ett exempel är förstås inget bevis, men i Ex 4.10 i slutet av kap 4.6 genomför man beviset allmänt.
Notera bara att man använt beteckningen \(\beta\) i kursboken, där \(\beta=\frac{1}{\lambda}\)
Så på alla ställen där det förekommer ett uttryck “delat med \(\beta\)”, skulle man istället få “multiplicerat med \(\lambda\)”.
// add bootstrap table styles to pandoc tables $(document).ready(function () { $('tr.header').parent('thead').parent('table').addClass('table table-condensed'); });