Chapter 4 Continous Random Variables
Väntevärde och varians för kontinuerliga slumpvariabler (Kap 4.3)
Väntevärde
Väntevärdet definieras enligt samma princip som för diskreta slumpvariabler. (som i sin tur bygger på formeln för beräkning av medelvärde.)
När man beräknar väntevärdet för en diskret slumpvariabel (inledningen av kap 3), multiplicerar man varje möjligt värde för slumpvariabeln med motsvarande sannolikhet och sedan adderar man alla sådana produkter;
\(\displaystyle E(Y)=\sum_{y\in S} y \cdot p(y)\)
När man ska beräkna väntevärdet för en kontinuerlig slumpvariabel gör man i princip på samma sätt, fast slumpvariablen har oändligt många möjliga värden.
Väntevärdet för en kontinuerlig slumpvariabel Y beräknas såhär: \(\displaystyle E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(y) \ dy\)
En integral är egentligen en summa av oändligt många små delar. Varje liten del är f(y)dy multiplicerad med y. (Man kan betrakta f(y)dy som sannolikheten för värdet y)
Exempel på beräkning av E(Y)
Exempel 8
Beräkna väntevärdet för den kontinuerliga slumpvariabel Y som har täthetsfunktionen \(f(y)=0.046875y^2,\) \(\ \ 0 \leq y \leq 4\)
Det kan ju vara intressant att i förväg gissa värdet genom att titta på grafen som beskriver sannolikhetsfördelningen. Det finns nämligen en fysikalisk tolkning av väntevärdet; tyngdpunkten för den färgade “sannolikhetsmassan”: 
Lösning exempel 8
\(\displaystyle E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} y f(y) \ dy =\) \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 0 \ dy\) + \(\displaystyle \int_0^4 0.046875y^3 \ dy\) + \(\displaystyle \int_4^{\infty} 0 \ dy\).
Förklaring:
I det första området; \(-\infty < y < 0\), blir \(y \cdot f(y)=y \cdot 0=0\)
I det andra området; \(0 \leq y \leq 4\), blir \(y \cdot f(y)=y \cdot 0.046875y^2\) \(=0.046875y^3\)
I det tredje området; \(4< y < \infty\), blir \(y \cdot f(y)=y \cdot 0=0\)
Det är bara den mellersta(andra) delen som är intressant, (Det räcker att den delen redovisas) så
\(\displaystyle E(Y)= \int_0^4 0.046875y^3 \ dy=\) \(\left[ 0.01171875y^4 \right]_0^4 =\) \(0.01171875 \cdot 4^4\) \(-0.01171875 \cdot 0^4 = 3\)
Väntevärdet för en funktion av en slumpvariabel
På samma sätt som för en diskret slumpvariabel Y kan definitionen av väntevärde utvidgas till väntevärde för en funktion g(Y):
\(\displaystyle E(g(Y))=\int_{-\infty}^{\infty} g(y) f(y) \ dy\) (Sats 4.4)
Varians
Allmänt om varians för slumpvariabler:
Variansen V(Y) för en slumpvariabel Y definieras
som väntevärdet för \((Y-\mu)^2\) där \(\mu=E(Y)\). (se även kap 3)
Även här är det i grunden samma princip för diskreta och kontinuerliga slumpvariabler. Summan (för diskreta) ersätts med en integral (oändlig summa) och p(y) ersätts med f(y)dy .
Om vi utgår från definitionen ovan, får vi \(V(Y)= E((Y-\mu)^2)\).
För en diskret slumpvariabel Y ger det \(\displaystyle V(Y)=\sum_{y\in S} (y-\mu)^2 p(y)\)
För en kontinuerlig slumpvariabel Y ger det \(\displaystyle V(Y)= \int_{-\infty}^{\infty} (y-\mu)^2 f(y) \ dy\) .
En påminnelse
I kapitel 3 beskrevs tre olika varianter för beräkning av variansen:
\(V(Y)= E((Y-E(Y))^2)\) direkt från definitionen ovan
\(V(Y)=E(Y^2) – (E(Y))^2\) omskrivning
\(V(Y)= E(Y\cdot(Y-1))\) \(- ((E(Y)) \cdot (E(Y)-1))\) omskrivning
Omskrivningarna byggde bl.a. på följande formler, som gäller likaväl för kontinuerliga slumpvariabler:
Användbara formler för omskrivning av uttryck med " \(E\) "
(se sats 4.5)
- \(E(c)=c\)
- \(E(c \cdot g(Y)) = c \cdot (E(g(Y))\)
- \(E(g_1(Y)+ g_2(Y) + \cdot \cdot \cdot + g_k(Y) )\) \(= E(g_1(Y))+ E(g_2(Y)) + \cdot \cdot \cdot + E(g_k(Y))\)
Exempel på beräkning av V(Y)
Exempel 9
Beräkna variansen för den kontinuerliga slumpvariabel Y som har täthetsfunktionen \(f(y)=0.046875y^2, \ \ 0 \leq y \leq 4\)
Lösning exempel 9
Använd följande formel: \(V(Y)=E(Y^2) – (E(Y))^2\)
Först beräknas \(E(Y^2)\):
\(\displaystyle E(Y^2)=\int_{-\infty}^{\infty} y^2 f(y) \ dy =\) \(\displaystyle \int_0^4 0.046875y^5 \ dy=\) \(\displaystyle \left[ 0.009375y^5 \right]_0^4 =\) \(0.009375 \cdot 4^5- 0.009375 \cdot 0^4\) \(= 9.6\)
Från exempel 8 hämtas värdet \(E(Y)=3\) som ger \((E(Y))^2=9\)
Slutligen får vi:
\(V(Y)=E(Y^2) – (E(Y))^2\) \(=9.6-9=0.6\)