Exempel på Normalfördelningssituation

Det finns mycket i naturen som är ungefär normalfördelat.
En exakt normalfördelning kan man betrakta som en teoretisk modell av verkligheten, så en exakt normalfördelning finns bara i teorin.

(Det är nästan samma sak med t.ex. Poissonfördelning och Gammafördelning; dessa förutätter att händelserna verkligen inträffar helt slumpmässigt, och det kan vi egentligen inte veta.)

Tag t.ex. längden av personer av samma kön i en viss åldersgrupp.

Exempel kvinnor

Låt  \(Y\)  = längden av en slumpvis utvald svensk kvinna i åldern 18-24 år.

Erfarenheten säger att  \(Y\)  följer (ungefär) en Normalfördelning.

Om sannolikhetsfördelningen

I det här exemplet kan vi inte direkt härleda formeln för täthetsfunktionen utgående från situationen för slumpförsöket. Istället känner vi till en teoretisk täthetsfunktion, och vi har av erfarenhet upptäckt att kvinnolängderna fördelar sig ungefär i enlighet med denna teoretiska sannolikhetsfördelning.

Vi antar alltså att vi har en normalfördelning.

För att bestämma rätt formel för täthetsfunktionen behöver vi följande information om populationen; medellängden är 167 (cm) och standardavvikelsen 6 (cm).

Täthetsfunktionen för den normalfördelning som har väntevärdet 167 och standardavvikelsen 6 ser ut såhär:

\(f(y) =\frac{1}{6 \sqrt{ 2\pi} }e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{y-167 }{6}\right) ^2}\),   \(-\infty <y<\infty\)

Vi ser direkt ett problem med den teoretiska modellen; det är bara i teorin som en kvinnolängd kan variera mellan \(-\infty\) och \(\infty\).

Men å andra sidan har f(y) så låga värden när y är långt bort från vad kvinnolängder brukar vara, så att modellen fungerar bra ändå. Det kan vi se i grafen för f(y):

Exempel män

Låt  \(Y\)  = längden av en slumpvis utvald svensk man i åldern 18-24 år.

Erfarenheten säger att  \(Y\)  följer (ungefär) en normalfördelning.

Om sannolikhetsfördelningen för männen

Vi antar alltså även här att Y följer en normalfördelning.

För att bestämma rätt formel för täthetsfunktionen behöver vi följande information om populationen; medellängden är 180 (cm) och standardavvikelsen 7 (cm).

Täthetsfunktionen för den normalfördelning som har väntevärdet 180 och standardavvikelsen 7 ser ut såhär:

\(f(y) =\frac{1}{7 \sqrt{ 2\pi} }e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{y-180 }{7}\right) ^2}\),   \(-\infty <y<\infty\)

Grafen för f(y) ser ut såhär:

Allmänt

Vi har en slumpvariabel Y vars sannolikhetsfördelning är “klockformad”; det som kallas Normalfördelning.

Det är väntevärdet; \(E(Y)=\mu\) och variansen; \(V(Y)=\sigma ^2\) som entydigt beskriver sannolikhetsfördelningen.

Vi skriver   \(Y \sim N(\mu,\sigma)\)   eller   \(Y \sim N(\mu,\sigma ^2)\).
(Det varierar mellan olika författare.)

Allmänna egenskaper för \(Y \sim N(\mu,\sigma)\)

Täthetsfunktion: \(f(y) =\frac{1}{\sigma \sqrt{ 2\pi} }e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{y-\mu }{\sigma }\right) ^2}\),   \(-\infty <y<\infty\)

Visar att \(f(y) \geq 0\)  för  \(-\infty < y < \infty\):

\(f(y)\) består av två faktorer; en positiv konstant \(\frac{1}{\sigma \sqrt{ 2\pi} }\) och en exponentialfunktion \(e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{y-\mu }{\sigma }\right) ^2}\).
Värdet av en exponentialfunktion är alltid positivt, så då vet vi att \(f(y) > 0\)  för  \(-\infty < y < \infty\)

Visar att totala arean under f(y) är 1, dvs att \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \ dy =1\):

f(y) saknar faktiskt primitiv funktion, så detta kan vi inte visa på vanligt sätt.

Återigen får vi lita på att det är riktigt att denna integral blir 1.

Sannolikhetsberäkningar

Exempel 14a   Bestäm sannolikheten för att en slumpvis utvald kvinna är högst 175 cm lång.

Exempel 14b   Bestäm sannolikheten för att en slumpvis utvald kvinna är minst 173 cm lång.

Exempel 14c   Bestäm sannolikheten för att en slumpvis utvald kvinna är mellan 160 cm och 170 cm lång.

Vi börjar med lösningen till exempel 14a, så kommer resten av lösningarna lite längre ned, efter den allmänna genomgången (som bygger på exempel 14a)

Låt  \(Y\)  vara längden av en slumvis utvald kvinna i åldern 18-24 år.
Vi antar att  \(Y\)  följer en normalfördelning.

För att få de rätta parametrarna för normalfördelningen, har vi undersökt populationen och funnit att \(\mu=167\) och att \(\sigma=6\).
Vi har alltså att \(Y \sim N(167,6^2)\)

Då blir \(\displaystyle P(Y \leq 175) =\) \(\int_{-\infty}^{175} \frac{1}{6 \sqrt{ 2\pi} }e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{y-167 }{6}\right) ^2} \ dy\)

Tyvärr har vi nyss konstaterat att vi inte kan lösa denna integral exakt, eftersom vi inte kan hitta någon primitiv funktion.

Då återstår numerisk beräkning med hjälp av dator.

Ett annat alternativ är att använda en tabell (som någon med tillgång till dator har konstruerat)

Allmänt om hur man gör sannolikhetsberäkningar med hjälp av tabell.

Det finns inte en tabell för varje möjlig normalfördelning; i så fall skulle det behövas en tabell för \(Y \sim N(167,6^2)\), en tabell för \(Y \sim N(180,7^2)\) o.s.v.

Istället används bara en tabell, som kan användas oavsett vilken normalfördelning man utgått ifrån.
Den tabellen är konstruerad utgående från en standardiserad normalfördelad variabel som brukar betecknas  \(Z\) .

För den standardiserade normalfördelningen är väntevärdet 0.

Man översätter sin slumpvariabel  \(Y\)  till standardiserad  \(Z\)  genom att beräkna hur många standardavvikelser från väntevärdet som  \(Y\)  är.

Z-värdet är alltså antalet standardavvikelser från väntevärdet, och beräknas såhär:
\(Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}\)

För exempel 14a där vi ska beräkna \(P(Y \leq 175)\) översätts då \(175\) till \(\frac{175-167}{6} \approx 1.33\),
och \(P(Y \leq 175) \approx P(Z \leq 1.33)\)

Värdet 1.33 betyder alltså att 175 är 1.33 standardavvikelser högre än 167.

Fortsättning av lösningen till Exempel 14a

\(P(Y \leq 175) =\) \(P \left(Z \leq \frac{175-167}{6} \right)\) \(\approx P(Z \leq 1.33)\) \(\approx 0.9082\)    (enligt avläsning i tabellen)

Lösningar till Exemplen 14b och 14c

14b

\(P(Y \geq 173) =\) \(P \left(Z \geq \frac{173-167}{6} \right)=\) \(P(Z \geq 1.00)\) \(\approx 1-0.8413\) \(=0.1587\)

OBSERVERA! Tabellvärdet för z=1.00 ger \(P(Z \leq 1.00)\approx 0.8413\), men den här gången vill du ju ha arean till höger om z =1.00; därav \(1-0.8413\).
(Hela arean under kurvan är ju 1)

14c

\(P(160 < Y < 170) =\) \(P \left( \frac{160-167}{6} < Z < \frac{170-167}{6} \right)\) \(\approx P(-1.17 < Z < 0.50)\) \(\approx 0.6915-0.1210\) \(=0.5705\)

Om du tänker på att du i tabellen använder fördelningsfunktionen \(P(Z \leq z)\) är det inte så svårt att följa lösningarna till exempel 14.