Övningar

Exempel 1e    Bestäm \(\int 6y^2 \ dy\)

Exempel 1f    Bestäm \(\displaystyle \int_1^3 6y^2 \ dy\)

Exempel 1g    Bestäm \(\int e^{4y} \ dy\)

Exempel 1h    Bestäm \(\displaystyle \int_0^2 e^{4y} \ dy\)

Svar

1e    \(2y^3+C\)

1f    \(52\)

1g    \(\frac{e^{4y}}{4}+C=\frac{1}{4} e^{4y}+C=0.25e^{4y}+C\)   (Välj det svar du tycker är snyggast)

1h    \(\frac{e^8-1}{4} \approx 745\)

Den intressanta frågan

Det vi är intresserade av är hur sannolikhetsfördelningen/pdf ser ut för slumpvariabel Y= positionen för den första regndroppen.

Om man skulle försöka göra en tabell som för exempel 2 ovan, skulle man få problem nu när slumpvariabeln är kontinuerlig:

Problem 1. Hur många olika positioner finns det för regndroppen; dvs hur lång blir tabellen?

Problem 2. Vad ska sannolikheterna få för värden?

Slutsatsen blir att det inte går att beskriva sannolikhetsfördelningen för en kontinuerlig slumpvariabel på samma sätt som för en diskret slumpvariabel; med en funktion p(y).
Den beskrivning som används istället heter täthetsfunktion f(y) och introduceras efter nästa stycke.

Fallet likformig fördelning

I exemplet ovan kom vi fram till att det inte fungerar att göra en tabell för p(y) när slumpvariabeln Y är kontinuerlig. Vi ska istället använda en täthetsfunktion f(y).

Vi börjar med en bildmässig beskrivning av hur f(y) fungerar i exemplet med vattendroppen:

Som förberedelse; tänk igenom svaret på följande uppgift: Bestäm \(P(1 \leq Y \leq 2.5)\)   (dvs sannolikheten att droppen hamnar någonstans mellan positionerna 1 och 2.5)

Ledning: Hur många procent av brädan motsvarar delen mellan positionerna 1 och 2.5?

Här är bilden av täthetsfunktionen f(y). Det är en linje som går ovanför det område där värdena för y är aktuella.
Det är den graf som motsvarar ett stolpdiagram för en diskret slumpvariabel med en sannolikhetsfördelningsfunktion p(y). I det fallet är summan av stolparnas längd likamed 1. När vi har en kontinuerlig slumpvariabel är det istället arean under f(y) som ska vara 1.

Det är därför som f(y) har värdet 0.25, så att rektangelarean ska bli \(4 \cdot 0.25=1\) (Det färgade området)

Användning av f(y)

Vår uppgift är att använda f(y) för att beräkna \(P(1 \leq Y \leq 2.5)\):
Denna sannolikhet beräknas genom att man beräknar arean under täthetsfunktionen f(y) över området mellan 1 och 2.5. Se den streckade arean i figuren nedan.

Förhoppningsvis kom även du fram till att \(P(1 \leq Y \leq 2.5)=0.375\)
(Det kanske du förresten redan listat ut med hjälp av ledningen tidigare)

Fallet när sannolikheten varierar

I exemplet ovan var sannolikheten densamma för alla värden på y mellan 0 och 4. Vad händer nu om sannolikheten varierar, så att f(y) ser ut såhär?

\(f(y)=0.046875y^2\)

Liksom i det föregående exemplet har vi här en slumpvariabel Y som kan anta alla möjliga värden mellan 0 och 4.
Skillnaden här är att alla värden inte är lika sannolika; det är mycket osannolikt att slumpvariabeln ger ett värde nära 0, men hög sannolikhet för värden nära 4.

Dock är det så (liksom för alla kontinuerliga slumpvariabler) att arean under f(y) är 1 (det färgade området).

Vad blir \(P(1 \leq Y \leq 2.5)\) för denna slumpvariabel?
Det är den streckade arean i figuren nedan.
Hur beräknar man en sådan area? Det är ju ingen rektangel.
Svaret finns under figuren.

Med matematik-kunskaperna från inledningen av detta kapitel har du kanske listat ut att svaret är att den markerade arean kan beräknas med hjälp av en integral: \(\displaystyle \int_1^{2.5} 0.046875y^2 \ dy\).

Vi har alltså att
\(P(1 \leq Y \leq 2.5) = \displaystyle \int_1^{2.5} 0.046875y^2 \ dy =\) \(\left[ 0.015625y^3 \right]_1^{2.5} =\) \(0.015625 \cdot 2.5^3- 0.015625 \cdot 1^3 \approx 0.2285\)

Exempel 3
handlar också om den kontinuerliga slumpvariabeln Y som har täthetsfunktionen \(f(y)=0.046875y^2, \ \ 0 \leq y \leq 4\)

3a)
Bestäm \(P(0 \leq Y \leq 0.5)\)

3b)
Bestäm \(F(2.5)\)

3c)
Bestäm \(F(1)\)

Ledning till 3b och 3c: Du måste inte bestämma formeln för fördelningsfunktionen F(y).
Du kan istället tänka såhär: \(F(b)=P(Y \leq b)\)

Och eftersom Y bara är definerad för \(0 \leq y \leq 4\), betyder det att \(P(Y \leq b)=P(0 \leq Y \leq b)\)

Alltså: \(F(b)=P(Y \leq b)=\) \(P(0 \leq Y \leq b)=\displaystyle \int_0^b 0.046875y^2 \ dy\)
  Svar Exempel 3
3a) 0.001953125
3b) 0.244140625
3c) 0.015625

Exempel

Exemplet ovan med \(f(y)=0.046875y^2, \ \ 0 \leq y \leq 4\):

\(P(1 \leq Y \leq 2.5) = \displaystyle \int_1^{2.5} f(y) \ dy\)    Svaret blev ca 0.2285, se ovan.

Det tidigare exemplet med \(f(y)=0.25, \ \ 0 \leq y \leq 4\):  

\(P(1 \leq Y \leq 2.5) = \displaystyle \int_1^{2.5} f(y) \ dy=\) \(\displaystyle \int_1^{2.5} 0.25 \ dy =\) \(\left[ 0.25y \right]_1^{2.5} = 0.25 \cdot 2.5 – 0.25 \cdot 1=0.375\)

Övningsexempel

Exempel 4  
En kontinuerlig slumpvariabel Y har följande täthetsfunktion: \(f(y)=0.375y^2, \ \ 0 \leq y \leq 2\)

4a) Bestäm \(P(0.5 \leq Y \leq 1)\)

4b) Bestäm \(P(0.5 < Y < 1)\)

4c) Bestäm \(P(Y \geq 1)\)
 

Exempel 5 En kontinuerlig slumpvariabel Y har följande täthetsfunktion: \(f(y)=1.5-0.5y, \ \ 1 \leq y \leq 3\)

5a) Bestäm \(P(2 \leq Y \leq 3)\)

5b) Bestäm \(P(2 < Y < 3)\)

5c) Bestäm F(2)

Svar till exemplen 4 och 5

4a) 0.109375
4b) 0.109375
4c) 0.875

5a) 0.25
5b) 0.25
5c) 0.75

Att gå från F(y) till f(y)

Sambandet är enkelt; det är bara att derivera!
\(F'(y)=f(y)\)

Exempel 6

En kontinuerlig slumpvariabel Y har följande fördelningsfunktion: \(\displaystyle F(y)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & y<1 \\ 0.01y^2+0.19y-0.20, & 1 \leq y \leq 5 \\ 1, & y > 5 \end{array} \right.\)

Bestäm formeln för täthetsfunktionen f(y)

Svar exempel 6

\(\displaystyle f(y)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & y<1 \\ 0.02y+0.19 & 1 \leq y \leq 5 \\ 0, & y > 5 \end{array} \right.\)

Ett kortare skrivsätt för svaret:

\(f(y)= 0.02y+0.19, \ \ 1 \leq y \leq 5\)

Man tar då för givet att f(y)=0 för de värden på y som är utanför det givna intervallet.

Att gå från f(y) till F(y)

Vi kan utgå från ledningen till exempel 3b och 3c ovan:
\(F(b)=P(Y \leq b)=\) \(P(0 \leq Y \leq b)=\displaystyle \int_0^b f(y) \ dy\)   (F)

Skillnaden nu är att vi vill ha en funktion F(y) istället för ett bestämt värde F(b).

Dessutom är ju inte nedre gränsen \(0\) för alla slumpvariabler; vi kallar den allmänt för \(y_{min}\).

Då har vi redan “receptet”; det är bara att byta ut \(b\) mot \(y\) och \(0\) mot \(y_{min}\).

Men det blir lite förvirrande att ha en gräns y när integrationsvariabeln också heter y.
De erfarna matematikerna byter då ut sin integrationsvariabel till något annat än just y, och valet hamnar ofta på t.

Kommentar: \(\displaystyle \int_a^b f(y) \ dy\) = \(\displaystyle \int_a^b f(t) \ dt\) = \(\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx\)    etc.
så det spelar ingen roll vilken integrationsvariabel man använder.
(Alla tre uttrycken blir nämligen \(F(b)-F(a)\) )

En kortversion av formeln (F) ovan:

\(F(b)=\displaystyle \int_0^b f(y) \ dy\)

Med alla byten blir nu formeln enligt följande:

\(F(y)=\displaystyle \int_{y_{min}}^y f(t) \ dt\)

Alternativ metod för att gå från f(y) till F(y)

Vi vet att F(y) är en primitiv funktion till f(y).
Det vi behöver veta är värdet på konstanten C, men det kan vi bestämma genom att utnyttja antingen \(F(y_{min})=0\) eller \(F(y_{max})=1\)

Exempel 7
En kontinuerlig slumpvariabel Y har följande täthetsfunktion: \(f(y)=1.5-0.5y, \ \ 1 \leq y \leq 3\)

7a) Bestäm F(y) med “diretkformeln”.

7b) Bestäm F(y) med metoden i alternativ 2.

Lösning

7a)   \(F(y)=\displaystyle \int_{y_{min}}^y f(t) \ dt =\) \(\displaystyle \int_1^y (1.5-0.5t) \ dt=\)

\(\left[ 1.5t-0.25t^2 \right]_1^y =\) \((1.5\cdot y-0.25\cdot y^2 )- (1.5\cdot 1-0.25\cdot 1^2 )=\) \(1.5y-0.25y^2-1.25\)

Nu har vi fått fram den formel för \(F(y)\) som gäller för \(1 \leq y \leq 3\).

Hela formeln för \(F(y)\) blir som följer:

\(\displaystyle F(y)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & y<1 \\ 1.5y-0.25y^2-1.25, & 1 \leq y \leq 3 \\ 1, & y > 3 \end{array} \right.\)

7b)   Primitiv funktion till f(y) : \(F(y)=1.5y-0.25y^2+C\)

Vad C blir kan bestämmas antingen ur \(F(1)=0\) eller \(F(3)=1\).
T.ex. ger \(F(1)=0\) att \(F(y)=1.5 \cdot 1 -0.25\cdot 1^2+C=0\), vilket ger \(C=-1.25\).

Vi får alltså \(F(y)=1.5y-0.25y^2+(-1.25)=\) \(=1.5y-0.25y^2-1.25\)  ;   som gäller för \(1 \leq y \leq 3\).

Hela formeln för \(F(y)\) blir som följer:

\(\displaystyle F(y)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & y<1 \\ 1.5y-0.25y^2-1.25, & 1 \leq y \leq 3 \\ 1, & y > 3 \end{array} \right.\)