Samtliga lösningar
En lista med alla lösningar som förekommit i genomgången av kapitel 2 (under “Lektioner”).
Lösning Exempel 1 : Ett träd är en bra bild för att inse hur utfallsrummet ser ut.
Med hjälp av trädet kan vi inse att utfallsrummet (S) blir: \(S=\{\) (krona,krona),(krona,klave),(klave,krona),(klave,klave) \(\}\)
Lösning Exempel 2 :
a) \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\)
b) \(A=\{1,3,5\}\)
c) \(\bar{A}=\{2,4,6\}\)
Lösning Exempel 3: Ja, eftersom varje par händelser \(A_i,A_j\) uppfyller \(A_i\cap A_j = \emptyset\)
Lösning Exempel 4: Om axiom 3 skulle vara uppfyllt skulle krävas både att \(P (\{1\})=0.3\) och att \(P (\{3\})=0.3\).
Men då skulle inte axiom 2 uppfyllas om vi tog unionen av \(\{1\}, \{2\} , \{3\}\).
Svar: Den ovan beskrivna funktionen P kan inte användas som sannolikhetsfunktion.
Lösning Exempel 5: Antalet utfall är \(2\cdot 3=6\)
Lösning Exempel 6a
Se Exempel6a.pdf
Antalet utfall är \(5\cdot 5\cdot 5=125\)
Lösning Exempel 6b
Se Exempel6b.pdf
Antalet utfall är \(5\cdot 4\cdot 3=60\)
Lösning Exempel 7: Enklast är att utgå från de 60 utfallen i 6b.
I den listan finns då bland annat följande sex utfall: ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA.
På motsvarande sätt finns i 6b sex utfall för varje kombination av bokstäver.
Om antalet kombinationer i exempel 7 är x stycken, får vi då att \(x\cdot 6=60\)
Detta innebär att svaret i exempel 7 är 10 (x = 10).
Se Exempel7.pdf
Lösning Exempel 8a: \(\displaystyle \left( \begin{array}{c} 25 \\ 4 \end{array} \right)=\frac{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22 }{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=12650\)
Lösning Exempel 8b: \(\displaystyle 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22 = 303600\)
Kommentar till svaret i 8a: Vi säger att vi har 12650 kombinationer (när ordningen saknar betydelse). Vi har \(_{25} C_4=12650\)
Kommentar till svaret i 8b: Vi säger att vi har 303600 permutationer (när ordningen har betydelse). Vi har \(_{25}P_4=303600\)
Lösning Exempel 9:
9a) Vi har \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) och använder den klassiska sannolikhetsdefinitionen:
Det ger \(\displaystyle P(A)=\frac{n_A}{N}=\mathrm{\frac{antalet\:utfall\:i\:\textit{A}}{antalet\:utfall\:i\:\textit{S}}}=\frac{3}{6}=0.50\)
9b) S har reducerats: \(S=\{\) 1,2,3,4,5,6\(\}\). Vi ska beräkna sannolikheten att få udda resultat i denna reducerade mängd (B).
Om vi vet att vi har en fyra,femma eller sexa, är sannolikheten att det är udda \(\frac{1}{3}\).
Alltså \(P(A|B)=\frac{1}{3}\approx 0.33\)
9b) med hjälp av formeln \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
För beräkning av detta behöver vi först \(P(A\cap B)\) och \(P(B)\):
Eftersom \(A\cap B=\{5\}\) får vi \(P(A\cap B)=\frac{1}{6}\)
Eftersom \(B=\{4,5,6\}\) får vi \(P(B)=\frac{3}{6}\)
Det ger \(\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{3}\approx 0.33\)
Lösning Exempel 10 :
10a): Totalt finns det 25 personer i byn. Av dessa är det 11 personer som tycker om apelsiner (de punkter som finns i “A-ringen”),
så svaret blir \(P(A)=\frac{11}{25}=0.44\).
10b): Nu är utfallsrummet reducerat till de 5 barnen (som finns i “B-ringen”). Av dessa är det 3 som tycker om apelsiner,
så svaret blir \(P(A|B)=\frac{3}{5}=0.60\).
Lösning Exempel 11
| A |
\(\overline{A}\) |
||
| B | 3 | 2 | 5 |
|
\(\overline{B}\) |
8 | 12 | 20 |
| 11 | 14 | 25 |
Ur tabellen utläses:
11a): \(P(A)=\frac{11}{25}=0.44\)
11b): \(P(A|B)=\frac{3}{5}=0.60\)
11c): \(P(A\cap B)=\frac{3}{25}=0.12\)
11d): \(P(A\cap \bar{B})=\frac{8}{25}=0.32\)
11e): \(P(\bar{B} | A)=\frac{8}{11}\approx 0.73\)
11f): \(P(\bar{B})=\frac{20}{25}=0.80\)
Lösning Exempel 12: Låt A vara händelsen att “första lampan man tar upp är trasig”.
Låt B vara händelsen att “andra lampan man tar upp är trasig”.
Vi söker alltså \(P(A\cap B)\).
Det är inte så lätt att tänka ut vad \(P(A\cap B)\) blir direkt.
Här går det lättare att använda \(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\) eller \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)\).
Vilken variant ska vi använda?
Tips: Eftersom det är lättare att börja med att beräkna \(P(A)\), använder vi den högra varianten av formeln.
När vi tar den första lampan, finns det 25 lampor kvar, varav 5 är trasiga.
Då blir \(P(A)=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\).
Sedan kan vi beräkna \(P(B|A)\) med hjälp av följande resonemang:
Om händelsen A har inträffat, så har vi 24 lampor kvar, varav 4 är trasiga.
Så sannolikheten att den andra lampan är trasig givet att den första var det blir:
\(P(B|A)=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\).
Vi får alltså att \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{6}= \frac{1}{30}\approx 0.033\)
Lösning Exempel 13:
Låt \(A=\) “Sexa i första kastet” och \(B=\) “Sexa i andra kastet”.
Utfallet i andra kastet påverkas inte av utfallet i första kastet.
\(A\) och \(B\) kan därför här antas vara oberoende.
Vi ska beräkna \(P(\bar{A}\cap \bar{B})\).
Vi kan utnyttja att eftersom \(A\), \(B\) är oberoende så är även \(\bar{A}, \bar{B}\) oberoende.
Men om \(\bar{A}, \bar{B}\) är oberoende, så följer att \(P(\bar{A}\cap \bar{B})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})\).
Då får vi att \(P(\bar{A}\cap\bar{B})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\).
Lösning Exempel 14:
P(minst en dubbelsexa) = 1 – P(ingen dubbelsexa) =
\(1-(\frac{35}{36})^{24} \approx 0.491\)
Lösning Exempel 15: Se Exempel 9: Eftersom \(P(A)=0.50\) och \(P(A|B)\approx 0.33\) är olika,
är inte A,B oberoende.
Alternativa lösningar finns det gott om, eftersom det finns fem ekvivalenta villkor för att kolla om A,B är oberoende.
T.ex. kan man kolla om \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\):
Eftersom \(A\cap B = \{5\}\), så blir \(P(A\cap B)=\frac{1}{6}\).
Men \(P(A)\) och \(P(B)\) blir båda 0.50, och \(0.50\cdot 0.50\neq\frac{1}{6}\), så därför är inte A,B oberoende.
Lösning Apelsinbyarna:
By a) Andelen som tycker om apelsiner är tydligen lika stor bland alla i byn,
så P(A)=0.80.
By b) P(A)=0.70.
By c) \(P(A)=0.25\cdot 0.80+ 0.75\cdot 0.60 = 0.65\)
Lösning Exempel 16 med formler
16a) Tillämpa formeln \(P(A)=P(B_1)\cdot P(A|B_1)+\) \(+P(B_2)\cdot P(A|B_2)+P(B_3)\cdot P(A|B_3)\)
Om vi använder uppgiftens beteckningar med tillägget att \(L\) får beteckna händelsen att degbiten är liten, får vi att formeln ger
\(P(L)=P(A)\cdot P(L|A)+\) \(+P(B)\cdot P(L|B)+P(C)\cdot P(L|C)\)
Det ger:
\(P(L)=0.50 \cdot 0.04+0.30\cdot 0.02+0.20\cdot 0.01=\) \(0.028\)
Sannolikheten att få en liten degbit är alltså 2.8 % , vilket är detsamma som att andelen små degbitar är 2.8 %.
16b) Enligt samma beteckningar som nyss, söker vi alltså \(P(A|L)\).
Och \(P(A|L)=\frac{P(A \cap L)}{P(L)}\)
där \(P(L)=0.028\) enligt ovan,
och \(P(A \cap L)=P(A)\cdot P(L|A)=0.50\cdot 0.04=0.02\)
Vi får alltså \(P(A|L)=\frac{P(A \cap L)}{P(L)}=\frac{0.02}{0.028} \approx 0.71\)
Lösning Exempel 16 med korstabell
Hitta på ett antal degbitar från bageriet (t.ex 100 eller 1000 eller …).
Börja med att fylla i totalantalet 1000 (i nedre högra hörnet).
Sedan kan du med hjälp av den information du fick i uppgiften fylla i följande:
\(P(A)=0.50\) ger att du kan fylla i 500 i rutan som ger totalsumman för A.
\(P(B)=0.30\) ger att du kan fylla i 300 i rutan som ger totalsumman för B.
\(P(C)=0.20\) ger att du kan fylla i 200 i rutan som ger totalsumman för C.
\(P(L|A)=0.04\) ger att du kan fylla i \(500\cdot 0.04=20\) i “A-raden” under L.
\(P(L|B)=0.02\) ger att du kan fylla i \(300\cdot 0.02=6\) i “B-raden” under L.
\(P(L|C)=0.01\) ger att du kan fylla i \(200\cdot 0.01=2\) i “C-raden” under L.
Resten av talen fylls i så att alla summor stämmer.
| L |
\(\overline{L}\) |
||
| A | 20 | 480 | 500 |
| B | 6 | 294 | 300 |
| C | 2 | 198 | 200 |
| 28 | 972 | 1000 |
Ur denna tabell kan avläsas många olika sannolikheter, t.ex. \(P(L)\) och \(P(A|L)\).
(Principen är beskriven i samband med exempel 11 tidigare.)
Vi får \(P(L)=\frac{28}{1000}=0.028\)
och \(P(A|L)=\frac{20}{28} \approx 0.71\)