Kapitel 2 behandlar grunderna i sannolikhetslära. Det börjar med en inledning (avsnitt 2.1 och 2.2) som motiverar att sannolikhetslära ingår i en statistikkurs.
Avsnitt 2.3 går igenom de matematiska beteckningar som används inom mängdläran. Vill du ha en mer grundläggande genomgång av detta rekommenderas följande: [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/mangdlara/begreppet-mangd]
När det gäller beteckningarna \(\cup\) för union (‘union’) och \(\cap\) för snitt (‘intersection’), kommer dessa att presenteras när de dyker upp nedan.
Kapitel 2.4-2.10
Nu följer en genomgång av kapitel 2.4-2.10; sannolikhetslära: Kursboken gör möjligen en mer strikt presentation av begreppen, men om du förstår den genomgång som presenteras här, så räcker det för den här kursen.
Sannolikhet
- Sannolikhet är ett kvantitativt mått på hur säkert det är att en händelse ska inträffa.
- Sannolikheten för en händelse är ett tal mellan 0 och 1.
(0 betyder: “kommer aldrig att hända”)
(1 betyder: “kommer säkert att hända”)
Definition av sannolikhet
Subjektiv definition:
Sannolikheter är personliga och mäter graden av tilltro/övertygelse. Vi kommer inte att använda denna definition av sannolikhet i denna kurs. Ett exempel är “Sannolikheten att Gud existerar”, vilket blir olika för olika personer.
Objektiv (frekventistisk) definition:
\(\mathrm{Sannolikhet\:för\:en\:händelse = \frac{Antal\:gånger\:händelsen\:inträffar} {totalt\:Antal\:upprepningar\:av\:försöket}}\)
där det totala antalet upprepningar är oändligt.
(Alltså andelen gånger händelsen inträffar när vi upprepar försöket oändligt antal gånger.)
Det är den frekventistiska definitionen av sannolikhet som kommer att användas i den här kursen.
Slumpförsök
En förutsättning för den frekventistiska definitionen är att försöket som upprepas är ett slumpförsök; Slumpförsök kallas ett försök som kan upprepas under samma förutsättningar varje gång.
Fler begrepp i samband med slumpförsök:
- (Ett) Utfall : Ett resultat av ett slumpförsök
- Utfallsrum : Mängden av alla möjliga utfall för ett slumpförsök. Betecknas vanligen S (engelska sample space)
Exempel 1 : Bestäm utfallsrummet för följande slumpförsök: Kasta ett mynt två gånger och notera dina resultat.
Lösning : Ett träd är en bra bild för att inse hur utfallsrummet ser ut.
Med hjälp av trädet kan vi inse att utfallsrummet (S) blir: \(S=\mathrm{ \{(krona,krona),(krona,klave),(klave,krona),(klave,klave)\} }\)
Ytterligare begrepp i samband med slumpförsök:
I den frekventistiska definitionen av sannolikhet ingår t.ex. även ordet händelse.
En händelse A definieras som en delmängd av S (utfallsrummet)
Exempel 2: Slumpförsöket är att kasta en sexsidig tärning.
2a) Bestäm S
2b) Bestäm händelsen A : “få udda resultat”
Lösning :
a) \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\)
b) \(A=\{1,3,5\}\)
Notera att vi har \(A\subseteq S\)
Fler begrepp: Sammansatta händelser
\(\cup\) Union (‘union’)
\(\cap\) Snitt (‘intersection’)
Om du behöver repetera dessa, kolla t.ex. [http://www.matteguiden.se/matte-diskret/mangdlara/mangder/]
Komplementmängd Beteckningen för komplementmängden (“alla andra utfall”) varierar mellan författare. I den här kursboken har man valt ett vågrätt streck ovanför mängden: \(\bar{A}\)
Exempel 2c: Bestäm händelsen \(\bar{A}\) där A : “få udda resultat”
Lösning : 2c) \(\bar{A}=\{2,4,6\}\)
ÖVNINGAR
Innan du går vidare, rekommenderas följande övningar på kapitel 2.3: Notera innebörden i DeMorgans lagar (övning 2.3)
(7ed): 2.3, 2.8 (6ed): 2.3, 2.4
Fortsättning på begrepp om händelser:
Disjunkta händelser
Två händelser A,B sägs vara disjunkta om \(A\cap B = \emptyset\)
// add bootstrap table styles to pandoc tables $(document).ready(function () { $('tr.header').parent('thead').parent('table').addClass('table table-condensed'); });