Sammanfattning om hur vi skapade konfidensintervall för \(\mu\)

När det gällde konfidensintervallet för  \(\mu\)  så var den aktuella samplingfördelningen fördelningen för  \(\bar{Y}\)  :

\(\bar{Y} \sim N \Bigl(\mu,\frac {\sigma^2}{n}\Bigr)\)  .

Vi kan här lägga till beteckningarna för samplingfördelningens varians  respektive standard error  :

Varians:  \(\sigma^2_{\bar{Y}} = \frac {\sigma^2}{n}\)  

Standard error:  \(\sigma_{\bar{Y}} = \frac {\sigma}{n^{1/2}}\)  

För att finna formlerna för konfidensintervallets gränser  \(\hat{\mu}_L\)   och  \(\hat{\mu}_U\)  användes då följande pivotkvantitet:

\(Z=\frac{\bar{Y}-\mu }{\frac{\sigma }{n^{1/2}}}\sim N\left( 0;1\right)\)  

Vi använde pivotkvantiteten i följande likhet:  \(1-\alpha\)  =   \(P\left( -z_{\alpha /2}<\frac{\bar{Y}-\mu }{\frac{\sigma }{n^{1/2}}}<z_{\alpha /2}\right)\)  .

Utgående från denna likhet kom vi sedan fram till

\(P\left( \bar{Y}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}<\mu <\bar{Y}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\right)\)  =   \(1-\alpha\)

vilket innebär att  \(\hat{\mu}_L=\bar{Y}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\)  
och att  \(\hat{\mu}_U=\bar{Y}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\)  .

Ett  \(\left( 1-\alpha \right) 100\)  %-igt konfidensintervall erhålls slutligen genom att byta ut slumpvariabeln  \(\bar{Y}\)  mot en observation  \(\bar{y}\) , dvs

\(\bar{y}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}<\mu <\bar{y}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\)
eller

\(\bar{y}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\)  .

Om man beräknar ett stort antal sådana intervall kan man förvänta sig att  \(\left( 1-\alpha \right) 100\)  % av dem täcker  \(\mu\) .

Allmän sammanfattning om konfidensintervall för \(\theta\)

Fallet där pivotkvantiteten har en N(0;1)-fördelning

Om vi har en parameter  \(\theta\)  
vars estimator  \(\hat{\theta}\)  är en statistika som är normalfördelad;

 \(\hat{\theta}\sim N\left(\theta, \sigma^2_{\hat{\theta}}\right)\)  ,

kan vi använd pivotkvantiteten  \(Z=\frac{\hat{\theta}-\theta }{\sigma_{\hat{\theta}}}\)  , som

är  \(N\left( 0;1\right)\)  – fördelad,

för att få fram formler för  \(\hat{\theta}_L\)  och  \(\hat{\theta}_U\)  .

Jämförelse mellan det allmänna fallet och exemplet \(\mu\)

Konfidensintervall för \(p\)

Antag att vi har en population där  \(p\)  = andelen  individer med en viss egenskap.

Teori

För att kunna göra en skattning av  \(p\)  tar vi ett stickprov av storlek  \(n\)  och tar reda på hur många av dem som har den intressanta egenskapen.
Om vi observerar  \(y\)  stycken individer (av  \(n\)  stycken) med den intressanta egenskapen, blir vår punkskattning  \(\hat{p}=\displaystyle \frac{y}{n}\)  .

Motsvarande estimator (slumpvariabel) betecknar vi då  \(\hat{P}\)  . För att kunna konstruera ett konfidensintervall för  \(p\)  behöver vi känna till fördelningen för  \(\hat{P}\)  .

Innan vi tar vårt stickprov är antalet individer (av  \(n\)  stycken) med den intressanta egenskapen en slumpvariabel  \(Y\)  . Fördelningen för  \(Y\)  är en binomialfördelning  ;
 \(Y \sim Bin(n,p)\)  .

I slutet av kapitel 7 del 3, så kom vi fram till följande:

Om  \(n>9\frac{\max \left( p,q\right) }{\min \left( p,q \right) }\)  så kan

 \(Y \sim Bin(n,p)\)  approximeras med  \(Y\sim N\bigl(np ,np\left( 1-p\right) \bigr)\)

Eftersom  \(\hat{P}=\displaystyle \frac{Y}{n}\)  så får vi fördelningen för  \(\hat{P}\)  genom omskalning av parametrarna i normalfördelningen för  \(Y\)   .

Det ger  \(\hat{P}\sim N\bigl( p;\frac{p\left( 1-p\right) }{n}\bigr)\)  .

Vilket alltså gäller (approximativt  ) om  \(n>9\frac{\max \left( p,q\right) }{\min \left( p,q \right) }\)  .

Vi har alltså att variansen för  \(\hat{P}\)  blir  \(\frac{p\left( 1-p\right) }{n}\)   ,
och en pivotkvantitet för att skapa konfidensintervallet för  \(p\)  blir då
 \(Z=\frac{\hat{P}-p }{\sqrt{\frac{p\left( 1-p\right)}{n}}}\)  .

Ur detta erhålls följande konfidensintervall för  \(p\)  :

\(\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\left( \frac{\hat{p}\left( 1-\hat{p}\right) }{n}\right)^{1/2}\)

Notera att standard error för \(\hat{P}\) egentligen är lika med
 \(\left( \frac{p \left( 1-p\right) }{n}\right)^{1/2}\)  , men eftersom vi inte känner till värdet på  \(p\)  , får vi använda vår skattning  \(\hat{p}\) i formeln istället:  \(\left( \frac{\hat{p}\left( 1-\hat{p}\right) }{n}\right)^{1/2}\)
 

Konfidensintervall för skillnader i medelvärden

Vi har två oberoende stickprov av storlek  \(n_{1}\)  respektive  \(n_{2}\)  som ger två oberoende stickprovsmedelvärden  \(\bar{Y}_{1}\)  och  \(\bar{Y}_{2}\) .

Vi är intresserade av skillnaden mellan väntevärdena, dvs  \(\mu _{1}-\mu _{2}\) .

Med pivotmetoden kan man på samma sätt som i enstickprovsfallet resonera sig fram till att konfidensintervall för populationsdifferenser ges av:

Normalfördelade observationer med kända varianser:

\(\left( \bar{y}_{1}-\bar{y}_{2}\right) \pm z_{\alpha /2}\left( \frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}\right) ^{1/2}\)

Normalfördelade observationer med okända men lika varianser, dvs  \(\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}\)  :

\(\left( \bar{y}_{1}-\bar{y}_{2}\right) \pm t_{\alpha /2}^{\left(n_{1}+n_{2}-2\right) }\left( \frac{s_{p}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{p}^{2}}{n_{2}}\right) ^{1/2}\)  ,

där  \(s_{p}^{2}\)  är den poolade(“sammanvägda”) variansskattningen (se boken, kap 8.8).

Observationerna är inte normalfördelade men stickproven är stora (kända varianser):

\(\left( \bar{y}_{1}-\bar{y}_{2}\right) \pm z_{\alpha /2}\left( \frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}\right) ^{1/2}\)  

enligt CGS.

Observationerna är inte normalfördelade men stickproven är stora (okända varianser):

\(\left( \bar{y}_{1}-\bar{y}_{2}\right) \pm z_{\alpha /2}\left( \frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right) ^{1/2}\)  

enligt CGS.

Konfidensintervall för skillnader i andelar

Med ledning av ovanstående tror jag att du skulle kunna lista ut hur konfidensintervallet för  \(p_1-p_2\)  ser ut.

Annars kolla bokens Exempel 8.8  i kapitel 8.6