Introduktion (byggd på era tidigare kunskaper)

I det föregående (Kapitel 8 del 1) pratade vi bara om punktskattning.
Då har vi bara erhållit ett värde som visserligen är en kvalificerad “gissning” av parameterns värde, men vi vet inget om hur långt ifrån parameterns värde vi har hamnat.

När vi gör en intervallskattning anger vi istället ett konfidensintervall med två gränser inom vilka vi säger att parametern finns med en viss säkerhet  .
Denna säkerhet kallas för konfidensintervallets konfidensgrad  och den brukar beskrivas som  \(1-\alpha\)  .
Den mest använda konfidensgraden är 95 %, vilket motsvaras av  \(\alpha=0.05\)  .

Teori om konfidensintervall i allmänhet; kursbokens upplägg

Konfidensintervallet görs här för ett allmänt  \(\theta\)  som vi vill skatta.

(\(\theta\)  kan vara ett populationsmedelvärde  \(\mu\)  , en populationsvarians  \(\sigma^2\)  eller något annat.)

Vi utgår från en punkskattning  \(\hat{\theta}\)  .
Runt denna punktskattning ska vi bygga ett intervall  \(\left[ \hat{\theta}_L,\hat{\theta}_L \right]\)  .

Frågan är nu hur vi skapar detta så att  \(P\left( \hat{\theta}_{L}\leq \theta \leq \hat{\theta}_{U}\right)\)  =  \(1-\alpha\)  .

Jämförelse med exemplet ovan; konfidensintervallet för  \(\mu\)  :

Eftersom  \(\alpha=0.05\)  , hade vi i det exemplet (högerspalten i dokumentet KonfidensIntervallEx.pdf )

att  \(P\left( \hat{\mu}_{L}\leq \mu \leq \hat{\mu}_{U}\right)\)  =  \(0.95\)

Nu ska vi hitta formler för  \(\hat{\theta}_L\)  och  \(\hat{\theta}_U\)  så att
 \(P\left( \hat{\theta}_{L}\leq \theta \leq \hat{\theta}_{U}\right)\)  =  \(1-\alpha\)  blir uppfyllt.

För detta ändamål behövs en pivotkvantitet för att bestämma osäkerheten i vår skattning, dvs längden  av konfidensintervallet.

Tillbaka till exemplet med konfidensintervall för \(\mu\)

En pivotkvantitet för att finna  \(\hat{\mu}_L\)   och  \(\hat{\mu}_U\)  är
\(Z=\frac{\bar{Y}-\mu }{\frac{\sigma }{n^{1/2}}}\sim N\left( 0;1\right)\)  

Det är dels en funktion av  \(\bar{Y}\)  och  \(\mu\)  ,
dels beror dess fördelning inte på  \(\mu\)  ; fördelningen är  \(N\left( 0;1\right)\)  .

Användning av pivotkvantiteten  \(Z\)  för att hitta  \(\hat{\mu}_L\)  och  \(\hat{\mu}_U\)
så att  \(P\left( \hat{\mu}_{L}\leq \mu \leq \hat{\mu}_{U}\right)\)  =   \(1-\alpha\)  :

\(1-\alpha\)  =   \(P\left( -z_{\alpha /2}<\frac{\bar{Y}-\mu }{\frac{\sigma }{n^{1/2}}}<z_{\alpha /2}\right)\)  =   \(P\left( -z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}<\bar{Y}-\mu <z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\right)\)  =   \(P\left( \mu -z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}<\bar{Y}<\mu +z_{\alpha/2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\right)\)  .

Omforma nu den vänstra delen i den sista olikheten:
\(-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}} <\bar{Y}-\mu\)  ger
\(\mu <\bar{Y}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\)

Omforma sedan den högra delen i samma olikhet: \(\bar{Y}-\mu < z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\)  ger \(\bar{Y}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}} <\mu\)

Den sista sannolikheten ovan kan då skrivas såhär:

\(P\left( \bar{Y}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}<\mu <\bar{Y}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\right)\)  =   \(1-\alpha\)

där ändpunkterna  alltså är slumpmässiga  .

Med sannolikheten  \(1-\alpha\)  kommer de att ligga på varsin sida av   \(\mu\) , vilket innebär att intervallet mellan dessa två ändpunkter med sannolikheten  \(1-\alpha\)  kommer att fånga upp det sanna, okända värdet på  \(\mu\)  .

Ett  \(\left( 1-\alpha \right) 100\)  %-igt konfidensintervall erhålls genom att byta ut slumpvariabeln  \(\bar{Y}\)  mot en observation  \(\bar{y}\) , dvs

\(\bar{y}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}<\mu <\bar{y}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\)
eller

\(\bar{y}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\)  .

Om man beräknar ett stort antal sådana intervall kan man förvänta sig att  \(\left( 1-\alpha \right) 100\)  % av dem täcker  \(\mu\) .

Tolkning av ett uträknat intervall:

• Innan vi dragit stickprovet}: Med sannolikheten  \(1-\alpha\)
  kommer vi att få ett intervall som täcker  \(\mu\)  .

• Efter att vi dragit stickprovet och beräknat ett intervall: Antingen täcker intervallet  \(\mu\)  (med sannolikheten 1),
  eller så täcker intervallet inte  \(\mu\)  (med sannolikheten 1). Poängen är att vi vet inte hur det är.
  Det vi vet är att intervallet har beräknats enligt en metod som i det långa loppet producerar intervall som i  \(\left( 1-\alpha \right) 100\) % av fallen innehåller  \(\mu\) . Dvs, med  \(\left( 1-\alpha \right) 100\)  % konfidens (tillförlitlighet) ligger den okända parametern  \(\mu\)  i intervallet  \(\bar{y}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{n^{1/2}}\) .

I exemplet ovan antogs normalfördelning med känd varians vilket ledde till att gränserna bestämdes med hjälp av normalfördelningskvantiler  \(z_{\alpha /2}\) . Hur gör man i andra lägen?

Konfidensintervall för \(\mu\) i andra lägen

Normalfördelade observationer men variansen \(\sigma ^{2}\) är okänd.

Utnyttja att

\(\frac{\bar{Y}-\mu }{\frac{S}{n^{1/2}}}\sim t\left( n-1\right)\)  . Gränserna bestäms då i stället av \(t-\) fördelningens kvantiler \(t_{\alpha /2}\left( n-1\right)\)  .

Observationerna är inte normalfördelade men stickprovet är stort (känd varians  \(\sigma ^{2}\) ).

Utnyttja att

 \(\frac{\bar{Y}-\mu }{\frac{\sigma }{n^{1/2}}}\sim N\left( 0;1\right)\)  (approximativt  ) enligt CGS.

Konstruera ett intervall med konfidensgraden approximativt lika med  \(\left( 1-\alpha \right)\). Gränserna bestäms av normalfördelningens kvantiler  \(z_{\alpha /2}\) .

Observationerna är inte normalfördelade men stickprovet är stort (okänd varians \(\sigma ^{2}\)).
Utnyttja att

 \(\frac{\bar{Y}-\mu }{\frac{S}{n^{1/2}}}\sim N\left( 0;1\right)\)  (approximativt  ) enligt CGS.

Konstruera ett intervall med konfidensgraden approximativt lika med  \(\left( 1-\alpha \right)\)  . Gränserna bestäms av normalfördelningens kvantiler  \(z_{\alpha /2}\)  .