Exempel med k =3

Situation 1

Du har tillgång till objekt av k st sorter, och du ska plocka n objekt; du vill ha \(n_1\) objekt av sort 1, \(n_2\) objekt av sort 2, o.s.v.

På hur många sätt kan du få precis de antal du vill ha?

Exempel med n  =10, k  =3.

I en stor låda med bollar finns det tre färger; gröna, röda och blå. Du plockar 10 bollar, där du vill ha 2 gröna, 5 röda och 3 blå.

På hur många sätt kan du få precis dessa antal?

Svar

Listan över möjligheter blir lång; några av möjligheterna finns med här:

GRBBGRRBRR (Den första du plockar är grön , nästa röd o.s.v.)
GGRRRRRBBB
BRGBRRGBRR
:

Listan kommer att bestå av 2520 möjligheter, så antalet sätt att få 2 gröna, 5 röda och 3 blå är 2520.

Situation 2

Du ska fördela n  st objekt i k  st grupper, där det i grupp 1 ska vara \(n_1\) objekt, i grupp 2 ska det vara \(n_2\) objekt, o.s.v.

På hur många sätt kan du placera ut objekten så att det blir rätt antal i varje grupp?

Exempel med n  =10, k  =3.

Du har n st personer som heter 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Dessa ska delas upp i tre grupper; den gröna, röda och blå gruppen. I den gröna gruppen ska det vara två personer, i den röda gruppen ska det vara fem personer och i den blå gruppen ska det vara tre personer.

På hur många sätt kan denna gruppindelning göras?

Svar

Man skulle kunna tänka sig att man lottar grupperna på följande sätt: Man har tio lotter (som man blandar); 2 st märkta G, 5 st märkta R och 3 st märkta B.
Först kommer person 1 och får en lott, sedan person 2 o.s.v.

Utfallen vid lottningen är många; här är några av utfallen:

GRBBGRRBRR (Person 1 fick “G”, person 2 fick “R” o.s.v.)
GGRRRRRBBB
BRGBRRGBRR
:

Listan kommer att bestå av 2520 möjligheter, så antalet sätt att göra gruppindelningen är 2520.

Situation 3

Det finns n st fack, där du ska placera objekt av k st olika färger.
I \(n_1\) st av facken ska det vara objekt som har färg 1, i \(n_2\) st av facken ska det vara objekt som har färg 2, o.s.v.

Det blir som en n bitar lång färgkod. Hur många olika färgkoder kan du skapa?

Exempel med n  =10, k  =3.

Tio bollar, varav 2 gröna, 5 röda och 3 blå ska placeras i följande tio fack:  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |

På hur många olika sätt kan resultatet se ut, dvs hur många olika sätt finns det att välja positioner för de tre färgerna?

Svar Listan över möjligheter blir lång; några av möjligheterna finns med här:
|G|R|B|B|G|R|R|B|R|R|
|G|G|R|R|R|R|R|B|B|B|
|B|R|G|B|R|R|G|B|R|R|
:

Listan kommer att bestå av 2520 möjligheter, så antalet olika färgkoder som du kan skapa med 2 gröna, 5 röda och 3 blå är 2520.

Exempel med k =2

Vi har tidigare använt beteckningen \(\left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right)\)   (som blir 10) för att beskriva svaret på frågan på hur många sätt man kan välja tre bland fem.

Men man kan tänka på samma sätt (som sats 2.3) även i detta enklare fall:

Låt n  =5, k  =2 med \(n_1=3\)  och   \(n_2=2\).

Då blir antalet utfall enligt sats 2.3 lika med \(\displaystyle \frac{5!}{3! 2!}=10\).

Antalet 10  är alltså svaret på följande tre frågor:

1

I en stor låda finns röda och gröna bollar. Du plockar fem stycken. På hur många sätt kan du få 3 röda och 2 gröna?

2

Du har fem personer som heter 1,2,3,4,5.
Dessa ska delas upp i två grupper; i “grupp röd” ska det vara 3 personer och i “grupp grön” ska det vara 2 personer.
På hur många sätt kan denna gruppindelning göras?

3

Fem bollar, varav 3 röda och 2 gröna ska placeras i följande fem fack:  |   |   |   |   |   |

På hur många olika sätt kan resultatet se ut, dvs hur många olika sätt finns det att välja positioner för de två färgerna?

Efter denna återblick är det dags för exempel på några sannolikhetsfördelningar som är så vanligt förekommande att de fått egna namn.
 

Allmän beskrivning av multinomial-slumpförsök

Den allmänna beskrivningen av situationen för multinomialfördelningen finns i definition 5.11.

Exempel på multinomialslumpförsök-situation

I ett bageri (det är mars månad) tillverkas semlor. Man har tre bagare; Anna som bakar 32 % av semlorna, Bertil som bakar 45 % av semlorna, och Cecilia som bakar 23 % av semlorna.
Du köper 10 slumpvis utvalda semlor i bageriet.
Bestäm sannolikheten för att du får precis 4 som Anna bakat, 4 som Bertil bakat och 2 som Cecilia bakat.

Lösning

I slumpförsöket finns tre slumpvariabler av intresse;

\(Y_1\)=antal semlor av de tio som Anna bakat.
\(Y_2\)=antal semlor av de tio som Bertil bakat.
\(Y_3\)=antal semlor av de tio som Cecilia bakat.

Enligt boken (efter definition 5.11) är formeln för den simultana sannolikhetsfunktionen  \(p\)  för  \(Y_1\),\(Y_2\),\(Y_3\)  följande:

\(p\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right)\)  =  \(\displaystyle \frac{10!}{y_{1}!y_{2}! y_{3}!}p_1^{y_{1}}p_2^{y_{2}}p_3^{y_{k}}\),

där vi har \(p_1=0.32\),\(p_2=0.45\),\(p_3=0.23\)

Den sökta sannolikheten \(P\left( Y_{1}=4,Y_{2}=4,Y_{3}=2\right)\) blir då:
\(p\left( 4,4,2 \right)\)  =  \(\displaystyle \frac{10!}{4!4! 2!}0.32^4 0.45^4 0.23^2\) \(\approx\)  \(3150 \cdot 0.000022746\) \(\approx 0.0716\)

Förklaring av delarna i formeln

Om man ritar ett träd över alla utfall som är möjliga (som med Binomialfördelningen i kapitel 3.4), skulle man få många grenar som motsvarar 4 “Anna”, 4 “Bertil” och 2 “Cecilia”.

Listan över sådana utfall skulle bli lång (se under rubriken “identiska situationer” ovan), nämligen \(\displaystyle \frac{10!}{4!4! 2!}= 3150\) möjligheter.

Sannolikheten för varje sådant utfall skulle bli lika med \(0.32^4 0.45^4 0.23^2\) \(\approx 0.000022746\)

Och \(3150 \cdot 0.000022746\) \(\approx 0.0716\)

Om marginalfördelningar för multinomialfördelningen

Allmänt

Antag att vi har en multionomialfördelning för \(Y_1\),\(Y_2\),…\(Y_k\) med simultan sannolikhetsfördelning  \(p\)  som ges av \(p\left( y_{1},y_{2},…,y_{k}\right)\)  =  \(\displaystyle \frac{n!}{y_{1}!y_{2}!\cdot \cdot \cdot y_{k}!}p_1^{y_{1}}p_1^{y_{2}}\cdot \cdot \cdot p_k^{y_{k}}\).

Då ges beskrivningarna av de respektive marginalfördelningarna \(p_1(y_{1}),p_2(y_{2}),…, p_k(y_k)\) av följande:

\(Y_1 \sim Bin(n,p_1)\)
\(Y_2 \sim Bin(n,p_2)\)
:
\(Y_k \sim Bin(n,p_k)\)

Alla marginalfördelningarna är alltså binomialfördelningar.

Exempel
Exempel 13a) Bestäm marginalfördelningen för \(Y_3\) i semla-exemplet.
Exempel 13b) Cecilia bakar väldigt goda semlor. Bestäm sannolikheten för att minst 3 av dina 10 inköpta semlor är bakade av Cecilia.

Svar Exempel 13
13a)  \(Y_3 \sim Bin(10,0.23)\)

13b)   \(P(Y_3 \geq 3) \approx 0.4137\)

Exempel på multinomialfördelning där k =2

Antag att vi har en STOR mängd bollar, varav 20 % är röda och 80 % är gröna. Du plockar upp fem bollar slumpmässigt.

Låt \(Y_1\)=antal röda bollar som du får upp.

Låt \(Y_2\)=antal gröna bollar som du får upp.

Enligt boken (efter definition 5.11) är formeln för den simultana sannolikhetsfunktionen  \(p\)   för \(Y_1\),\(Y_2\) följande:

\(p\left( y_{1},y_{2}\right)\)  =  \(\displaystyle \frac{5!}{y_{1}!y_{2}!}0.2^{y_{1}}0.8^{y_{2}}\).

Jag har åskådliggjort sannolikhetsfunktionen i följande graf. Jag har också lagt till de båda marginalfördelningarna \(p_1(y_1)\) och \(p_2(y_2)\) “ute i marginalerna”.

Övning

Exempel 14a) Avgör om \(Y_1\) och \(Y_2\) är oberoende i exemplet ovan.
Exempel 14b) Bestäm korrelationen mellan \(Y_1\) och \(Y_2\).

Svar Exempel 14

Om du kollar villkoret för att \(Y_1\) och \(Y_2\) är oberoende, dvs kollar att \(p(y_1,y_2)=p_1(y_1) \cdot p_2(y_2)\)   för alla par \((y_1,y_2)\), ser du snabbt att svaret blir NEJ; \(Y_1\) och \(Y_2\) är inte oberoende.

Dessutom: Rent logiskt sett är \(Y_1\) och \(Y_2\) i högsta grad beroende av varandra; Om du vet värdet på \(Y_1\) (antal röda), vet du med 100 % säkerhet vad \(Y_2\) (antal gröna) är, eftersom \(y_1 +y_2=5\).

\(Y_1\) och \(Y_2\) är t.o.m. starkt beroende, efterom korrelationen har värdet \(-1\).

Alltså är de inte oberoende.

Anmärkning om multinomialfördelningen i fallet där k =2

Normalt när k=2 beskrivs inte  den simultana sannolikhetsfördelningen för \(Y_1\) och \(Y_2\).

Istället presenterar man den ena av variablerna och kallar den för \(Y\).
Vilken du väljer beror på vilket av de två utfallen (här röd och grön), som du väljer att betrakta som “det lyckade utfallet”; det utfall som du “räknar”.

Du presenterar alltså uppgiften som..

..antingen \(Y \sim Bin(5,0.2)\) där  \(Y\)=antal röda bollar som du får upp,

..eller \(Y \sim Bin(5,0.8)\) där  \(Y\)=antal gröna bollar som du får upp.

Övning
Exempel 15
Kolla så att du förstår likheten och skillnaden mellan de två alternativen att presentera uppgiften. (T.ex. varför det blir “samma” värden på sannolikheterna, fast i omvänd ordning.)

Ytterligare ett exempel på en sannolikhetsfördelning som är så vanligt förekommande att den fått eget namn:

Allmänt

En bivariat normalfördelning betecknas \(\left( Y_{1},Y_{2}\right)\) \(\sim\) \(BVN\left( \mu _{1},\mu _{2},\sigma_{1}^{2},\sigma _{2}^{2},\rho \right)\) och den simultana sannolikhetsfördelningen har täthetsfunktionen
\(f\left( y_{1},y_{2}\right)\)  =  \(\displaystyle \frac{e^{-\frac{1}{2} Q}}{2\pi \sigma _{1}\sigma_{2}\sqrt{ 1-\rho ^{2}}}\)   för \(-\infty <y_{1}<\infty\)  ,  \(-\infty <y_{2}<\infty\)

där   \(Q=\frac{1}{1-\rho ^{2}} \left( \frac{\left( y_{1}-\mu _{1}\right) ^{2}}{\sigma _{1}^{2}}-2\rho \frac{\left(y_{1}-\mu _{1}\right) \left( y_{2}-\mu _{1}\right) }{\sigma _{1}\sigma _{2}}+\frac{\left( y_{2}-\mu _{2}\right) ^{2}}{\sigma _{2}^{2}}\right)\)

Kommentar om exemplet i BILD 1 När vi har \(\mu_1=0\)  ,  \(\mu_2=0\)  ,  \(\sigma_1 ^2=1^2\)  ,  \(\sigma_2 ^2=1^2\)  ,  \(\rho=0\)

blir \(Q=\frac{1}{1-0} \cdot \left( \frac{ y_{1} ^{2}}{1^{2}}-2\cdot 0 \cdot \frac{y_{1} y_{2}}{1 \cdot 1 }+\frac{ y_{2} ^{2}}{1^{2}} \right)\)  =  \(y_{1} ^{2}+y_{2} ^{2}\)

BILD 2 Här är en bild av den simultana täthetsfunktionen för \(\left( Y_{1},Y_{2}\right) \sim BVN\left( 1,3,2^{2},4^{2},0.8 \right)\):

Marginalfördelningar

Om \(\left( Y_{1},Y_{2}\right) \sim BVN\left( \mu _{1},\mu _{2},\sigma_{1}^{2},\sigma _{2}^{2},\rho \right)\)

så har vi följande marginalfördelningar:

För \(Y_{1}\): \(Y_1 \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)
För \(Y_{2}\): \(Y_2 \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)

Exempel 16, forts

16d) Bestäm de två marginalfördelningarna för BILD 1

16c) Bestäm \(P(Y_1 \leq 1)\) för BILD 1

16e) Bestäm marginalfördelningen för \(Y_{1}\) för BILD 2

16f) Bestäm \(P(Y_1 \geq 2)\) för BILD 2

Om oberoende och korrelation

Normalt gäller att följande är sant:
“\(Y_1\) och \(Y_2\) är oberoende” \(\Rightarrow \ \ Cov(Y_1,Y_2)=0\)
Ett undantag finns, där implikationen gäller åt båda hållen; om de två slumpvariablerna \(Y_1\) och \(Y_2\) kommer från en bivariat normalfördelning.

Så i detta delkapitel gäller;
“\(Y_1\) och \(Y_2\) är oberoende” \(\Leftrightarrow \ \ Cov(Y_1,Y_2)=0\)

När vi har två kontinuerliga slumpvariabler \(Y_1\) och \(Y_2\) som är oberoende, så gäller följande för täthetsfunktionerna: \(f(y_1,y_2)=f_1(y_1) \cdot f_2(y_2)\),

där \(f_1(y_1)\) är täthetsfunktionen för sannolikhetsfördelningen för marginalfördelningen för\(Y_1\),

och \(f_2(y_2)\) är täthetsfunktionen för sannolikhetsfördelningen för marginalfördelningen för\(Y_2\).

Exempel 17
17a) Kolla att \(f(y_1,y_2)=f_1(y_1) \cdot f_2(y_2)\)  gäller för exemplet i BILD 1 .

(Du behöver nog kolla i kap 4.5 för att bestämma \(f_1\) och \(f_2\)).

17b) Bestäm \(f(y_1,y_2)\) för exemplet i BILD 2 genom att utgå från de två marginalfördelningarna, och multiplicera deras täthetsfunktioner.

Betingade eller villkorliga fördelningar

Den betingade fördelningen för \(Y_{1}\) givet \(Y_{2}=y_{2}\) är

\(\left( Y_{1}\left\vert Y_{2}=y_{2}\right. \right) \sim N\left( \mu_{1\left\vert Y_{2}=y_{2}\right. },\sigma _{1\left\vert Y_{2}=y_{2}\right.}^{2}\right)\) ,

där   \(\mu _{1\left\vert Y_{2}=y_{2}\right. }=\mu _{1}+\rho \frac{\sigma _{1}}{\sigma _{2}}\left( y_{2}-\mu _{2}\right)\)

och   \(\sigma _{1\left\vert Y_{2}=y_{2}\right. }^{2}=\sigma _{1}^{2}\left( 1-\rho^{2}\right)\)

Den betingade fördelningen för \(Y_{2}\) givet \(Y_{1}=y_{1}\) är

\(\left( Y_{2}\left\vert Y_{1}=y_{1}\right. \right) \sim N\left( \mu_{2\left\vert Y_{1}=y_{1}\right. },\sigma _{2\left\vert Y_{1}=y_{1}\right.}^{2}\right)\) ,

där   \(\mu _{2\left\vert Y_{1}=y_{1}\right. }=\mu _{2}+\rho \frac{\sigma _{2}}{\sigma _{1}}\left( y_{1}-\mu _{1}\right)\)

och   \(\sigma _{2\left\vert Y_{1}=y_{1}\right. }^{2}=\sigma _{2}^{2}\left( 2-\rho^{2}\right)\)

Exempel 18 handlar om BILD 2

18a) Bestäm den betingade fördelningen för \(Y_{1}\) givet \(Y_{2}=8\)

18b) Försök “rita in” den fördelningen i BILD 2.

18c) Bestäm \(P((Y_1 \geq 4)|(Y_2=8))\).

Svar Exempel 18
18b)