Exempel

Till en viss affär anländer kunder slumpmässigt; i genomsnitt kommer det in 20 kunder per timme.
a) Bestäm sannolikheten för att affärsinnehavaren behöver vänta minst 5 minuter på första kunden.
b) Antag att affärsinnehavaren har väntat i 10 minuter utan att det kommit någon kund. Vad är då sannolikheten att hon behöver vänta ytterligare minst 5 minuter innan det kommer någon kund?

Lösning

Bilda slumpvariabeln Y=tiden i minuter till den första kunden. Med tidsenheten minuter har vi \(\lambda=\frac{1}{3}\) (Om det kommer 20 kunder per timme, kommer det 1/3 kund per minut, i genomsnitt.)

Alternativt kan vi använda kursbokens beteckning, som är \(\beta=3\) (i genomsnitt 3 minuter mellan varje kund).

Oavsett vilken beteckning vi använder, får vi följande täthetsfunktion för vår slumpvariabel: \(f(y)=\frac{1}{3} e^{-\frac{1}{3} y}, \ \ y > 0\)

a)   \(P(Y \geq 5)=\displaystyle \int_5^{\infty} \frac{1}{3} e^{-\frac{1}{3} y} \ dy=\) \(\left[ \frac{1}{3} \frac{e^{-\frac{1}{3} y}}{-\frac{1}{3}}\right]_5^{\infty} =\) \(\left[ -e^{-\frac{1}{3} y} \right]_5^{\infty} =\)

\(\displaystyle 0- \left( -e^{-\frac{5}{3}} \right) = e^{-\frac{5}{3}} \approx 0.1889\)

b) Här har vi en betingad sannolikhet; givet att det har gått 10 minuter utan kund, ska vi bestämma sannolikheten att det går minst 10+5 minuter tills första kunden kommer.

Den sökta sannolikheten betecknas \(P(Y \geq 15|Y \geq 10)\).
 

Från kapitel 2 repeterar vi definitionen: \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
 
Här får vi då \(P(Y \geq 15|Y \geq 10)=\frac{P((Y \geq 15) \cap (Y \geq 10))}{P(Y \geq 10)}\)
 

Händelsen \((Y \geq 15) \cap (Y \geq 10)\) som finns i täljaren kan förenklas till \((Y \geq 15)\).
(Alla tal som är både större än 15 och större än 10, måste vara större än 15.)
 

Alltså: \(P(Y \geq 15|Y \geq 10)=\frac{P((Y \geq 15) \cap (Y \geq 10))}{P(Y \geq 10)}=\) \(\frac{P(Y \geq 15)}{P(Y \geq 10)}\)
Om vi för både täljaren och nämnaren gör på samma sätt som i a-uppgiften, kommer vi att få \(\frac{P(Y \geq 15)}{P(Y \geq 10)}=\) \(\frac{e^{-\frac{10}{3}}}{e^{-\frac{15}{3}}}\)

vilket ger exakt samma svar som i a-uppgiften!

Allmänt

Exemplet ovan bekräftar den påstådda “Lack-of-memory-egenskapen” för Exponentialfördelningen.

Ett exempel är förstås inget bevis, men i Ex 4.10 i slutet av kap 4.6 genomför man beviset allmänt.
Notera bara att man använt beteckningen  \(\beta\)  i kursboken, där  \(\beta=\frac{1}{\lambda}\)

Så på alla ställen där det förekommer ett uttryck “delat med \(\beta\)”, skulle man istället få “multiplicerat med  \(\lambda\)”.