Chapter 4 Continous Random Variables
Väntevärde och varians för kontinuerliga slumpvariabler (Kap 4.3)
Väntevärde
Väntevärdet definieras enligt samma princip som för diskreta slumpvariabler. (som i sin tur bygger på formeln för beräkning av medelvärde.)
När man beräknar väntevärdet för en diskret slumpvariabel (inledningen av kap 3), multiplicerar man varje möjligt värde för slumpvariabeln med motsvarande sannolikhet och sedan adderar man alla sådana produkter;
\(\displaystyle E(Y)=\sum_{y\in S} y \cdot p(y)\)
När man ska beräkna väntevärdet för en kontinuerlig slumpvariabel gör man i princip på samma sätt, fast slumpvariablen har oändligt många möjliga värden.
Väntevärdet för en kontinuerlig slumpvariabel Y beräknas såhär: \(\displaystyle E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(y) \ dy\)
En integral är egentligen en summa av oändligt många små delar. Varje liten del är f(y)dy multiplicerad med y. (Man kan betrakta f(y)dy som sannolikheten för värdet y)
Exempel på beräkning av E(Y)
Exempel 8
Beräkna väntevärdet för den kontinuerliga slumpvariabel Y som har täthetsfunktionen \(f(y)=0.046875y^2,\) \(\ \ 0 \leq y \leq 4\)
Det kan ju vara intressant att i förväg gissa värdet genom att titta på grafen som beskriver sannolikhetsfördelningen. Det finns nämligen en fysikalisk tolkning av väntevärdet; tyngdpunkten för den färgade “sannolikhetsmassan”: 
Lösning exempel 8
\(\displaystyle E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} y f(y) \ dy =\) \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 0 \ dy\) + \(\displaystyle \int_0^4 0.046875y^3 \ dy\) + \(\displaystyle \int_4^{\infty} 0 \ dy\).
Förklaring:
I det första området; \(-\infty < y < 0\), blir \(y \cdot f(y)=y \cdot 0=0\)
I det andra området; \(0 \leq y \leq 4\), blir \(y \cdot f(y)=y \cdot 0.046875y^2\) \(=0.046875y^3\)
I det tredje området; \(4< y < \infty\), blir \(y \cdot f(y)=y \cdot 0=0\)
Det är bara den mellersta(andra) delen som är intressant, (Det räcker att den delen redovisas) så
\(\displaystyle E(Y)= \int_0^4 0.046875y^3 \ dy=\) \(\left[ 0.01171875y^4 \right]_0^4 =\) \(0.01171875 \cdot 4^4\) \(-0.01171875 \cdot 0^4 = 3\)
Väntevärdet för en funktion av en slumpvariabel
På samma sätt som för en diskret slumpvariabel Y kan definitionen av väntevärde utvidgas till väntevärde för en funktion g(Y):
\(\displaystyle E(g(Y))=\int_{-\infty}^{\infty} g(y) f(y) \ dy\) (Sats 4.4)
Varians
Allmänt om varians för slumpvariabler:
Variansen V(Y) för en slumpvariabel Y definieras
som väntevärdet för \((Y-\mu)^2\) där \(\mu=E(Y)\). (se även kap 3)
Även här är det i grunden samma princip för diskreta och kontinuerliga slumpvariabler. Summan (för diskreta) ersätts med en integral (oändlig summa) och p(y) ersätts med f(y)dy .
Om vi utgår från definitionen ovan, får vi \(V(Y)= E((Y-\mu)^2)\).
För en diskret slumpvariabel Y ger det \(\displaystyle V(Y)=\sum_{y\in S} (y-\mu)^2 p(y)\)
För en kontinuerlig slumpvariabel Y ger det \(\displaystyle V(Y)= \int_{-\infty}^{\infty} (y-\mu)^2 f(y) \ dy\) .
En påminnelse
I kapitel 3 beskrevs tre olika varianter för beräkning av variansen:
\(V(Y)= E((Y-E(Y))^2)\) direkt från definitionen ovan
\(V(Y)=E(Y^2) – (E(Y))^2\) omskrivning
\(V(Y)= E(Y\cdot(Y-1))\) \(- ((E(Y)) \cdot (E(Y)-1))\) omskrivning
Omskrivningarna byggde bl.a. på följande formler, som gäller likaväl för kontinuerliga slumpvariabler:
Användbara formler för omskrivning av uttryck med " \(E\) "
(se sats 4.5)
- \(E(c)=c\)
- \(E(c \cdot g(Y)) = c \cdot (E(g(Y))\)
- \(E(g_1(Y)+ g_2(Y) + \cdot \cdot \cdot + g_k(Y) )\) \(= E(g_1(Y))+ E(g_2(Y)) + \cdot \cdot \cdot + E(g_k(Y))\)
Exempel på beräkning av V(Y)
Exempel 9
Beräkna variansen för den kontinuerliga slumpvariabel Y som har täthetsfunktionen \(f(y)=0.046875y^2, \ \ 0 \leq y \leq 4\)
Lösning exempel 9
Använd följande formel: \(V(Y)=E(Y^2) – (E(Y))^2\)
Först beräknas \(E(Y^2)\):
\(\displaystyle E(Y^2)=\int_{-\infty}^{\infty} y^2 f(y) \ dy =\) \(\displaystyle \int_0^4 0.046875y^5 \ dy=\) \(\displaystyle \left[ 0.009375y^5 \right]_0^4 =\) \(0.009375 \cdot 4^5- 0.009375 \cdot 0^4\) \(= 9.6\)
Från exempel 8 hämtas värdet \(E(Y)=3\) som ger \((E(Y))^2=9\)
Slutligen får vi:
\(V(Y)=E(Y^2) – (E(Y))^2\) \(=9.6-9=0.6\)
Kapitel 4.4-4.7: Speciella kontinuerliga sannolikhetsfördelningar
Vissa sannolikhetsfördelningar är så vanligt förekommande, att de fått egna namn.
Vi har haft några exempel på sannolikhetsfördelningar tidigare i kapitel 4, t.ex. exempel 3. Slumpvariabeln \(Y\) hade följande täthetsfunktion: \(f(y)=0.046875y^2, \ \ 0 \leq y \leq 4\).
Den sannolikhetsfördelningen har inget eget namn, men nu ska vi presentera några välkända fördelningar med egna namn:
Likformig kontinuerlig fördelning i kapitel 4.4
Exponentialfördelning se nedan och kapitel 4.6
Gammafördelning i kapitel 4.6
Normalfördelning i kapitel 4.5
(Betafördelning i kapitel 4.7 tas inte upp i kursen)
Vi kommer att gå igenom i vilka situationer som de olika fördelningarna kan användas. Utgående från situation kommer vi att härleda motsvarande formel för f(y).
Vi kommer också att behöva formler för väntevärde och varians/standardavvikelse, Dessa formler kommer vi i flera fall att härleda.
Likformig kontinuerlig fördelning (kap 4.4)
Exempel (använt tidigare i kap 4)
Ta en 4 dm lång bräda och sätt en skala utefter långsidan där du markerar 0-4. Just innan det ska regna placerar du brädan på marken. Vänta tills den första regndroppen träffar brädan och kolla vilken position på skalan 0-4 som droppen hamnat mittför.
Låt Y = positionen för den första regndroppen.
Då säger man att Y följer en Likformig kontinuerlig fördelning.
Om sannolikhetsfördelningen
Sannolikhetsfördelningen beskrivs av följande täthetsfunktion: \(f(y)=\frac{1}{4}, \ \ 0 \leq y \leq 4\).
Värdet 0.25 (1/4) förklaras av att den totala arean under täthetsfunktionen för \(0 \leq y \leq 4\) ska bli 1; se figuren: 
En likformig sannolikhetsfördelning som är kontinuerlig kallas också rektangelfördelning eftersom täthetsfunktionen får utseendet hos en rektangel.
Allmänt
Om Y har en likformig kontinuerlig fördelning (Rektangelfördelning) med \({\theta}_1 \leq y \leq {\theta}_2\) skriver vi \(Y \sim Re({\theta}_1,{\theta}_2)\).
(Likformig innebär att alla värden mellan \({\theta}_1\) och \({\theta}_2\) är lika sannolika. )
Om beteckningen Re
En vanligare beteckning för denna fördelning är U, men vi har redan använt den beteckningen för likformig diskret fördelning i kapitel 3.
Allmänna egenskaper för \(Y \sim Re({\theta}_1,{\theta}_2)\)
Täthetsfunktion: \(f(y)=\frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1}, \ \ {\theta}_1 \leq y \leq {\theta}_2\)
Visar att \(f(y) \geq 0\) för \(-\infty < y < \infty\):
-
För \(-\infty < y < {\theta}_1\) gäller \(f(y)=0\).
-
För \({\theta}_1 \leq y \leq {\theta}_2\) gäller \(f(y) =\frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1}\), vilket är ett positivt tal, eftersom \({\theta}_1 < {\theta}_2\)
-
För \({\theta}_2 < y < \infty\) gäller \(f(y)=0\).
Slutsatsen blir att \(f(y) \geq 0\) för alla värden på y (i alla tre områdena.)
Visar att totala arean under f(y) är 1, dvs att \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \ dy =1\):
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \ dy =\int_{{\theta}_1}^{{\theta}_2} \textstyle \frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} \ dy=\) \(\displaystyle \left[ \textstyle \frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} y \right]_{{\theta}_1}^{{\theta}_2} =\) \(\frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} \cdot {\theta}_2 – \frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} \cdot {\theta}_1=\) \(\frac{{\theta}_2-{\theta}_1}{{\theta}_2-{\theta}_1}=1\)
Väntevärde: \(E(Y)=\frac{{\theta}_1+{\theta}_2}{2}\)
Varians: \(V(Y)=\frac{({\theta}_2-{\theta}_1)^2}{12}\)
Övningar
Exempel 10
10a) Bestäm väntevärdet för slumpvariabeln Y som anger positionen för den första regndroppen.
10b) Härled allmänt formeln för E(Y) för en likformig kontinuerlig fördelning.
10c) Bestäm variansen för slumpvariabeln Y som anger positionen för den första regndroppen.
10d) Härled allmänt formeln för V(Y) för en likformig kontinuerlig fördelning.
Ledning
10b och 10d) Du behöver följande räkneregler:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) (konjugatregeln),
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\),
samt även de två kvadreringsreglerna
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) och \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
För 10b kan du även kolla bokens härledning (sats 4.6)
Svar Exempel 10
10a) \(E(Y)=2\)
10c) \(V(Y)=1.333…\)