Exempel (använt tidigare i kap 4)

Ta en 4 dm lång bräda och sätt en skala utefter långsidan där du markerar 0-4. Just innan det ska regna placerar du brädan på marken. Vänta tills den första regndroppen träffar brädan och kolla vilken position på skalan 0-4 som droppen hamnat mittför.

Låt Y = positionen för den första regndroppen.
Då säger man att Y följer en Likformig kontinuerlig fördelning.

Om sannolikhetsfördelningen

Sannolikhetsfördelningen beskrivs av följande täthetsfunktion: \(f(y)=\frac{1}{4}, \ \ 0 \leq y \leq 4\).

Värdet 0.25 (1/4) förklaras av att den totala arean under täthetsfunktionen för \(0 \leq y \leq 4\) ska bli 1; se figuren:

En likformig sannolikhetsfördelning som är kontinuerlig kallas också rektangelfördelning eftersom täthetsfunktionen får utseendet hos en rektangel.

Allmänt

Om Y har en likformig kontinuerlig fördelning (Rektangelfördelning) med \({\theta}_1 \leq y \leq {\theta}_2\)   skriver vi   \(Y \sim Re({\theta}_1,{\theta}_2)\).

(Likformig innebär att alla värden mellan \({\theta}_1\) och \({\theta}_2\) är lika sannolika. )
 

Allmänna egenskaper för \(Y \sim Re({\theta}_1,{\theta}_2)\)

Täthetsfunktion:   \(f(y)=\frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1}, \ \ {\theta}_1 \leq y \leq {\theta}_2\)
 

Visar att \(f(y) \geq 0\)  för  \(-\infty < y < \infty\):

• För \(-\infty < y < {\theta}_1\)  gäller   \(f(y)=0\).

• För \({\theta}_1 \leq y \leq {\theta}_2\)  gäller \(f(y) =\frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1}\),   vilket är ett positivt tal, eftersom \({\theta}_1 < {\theta}_2\)

• För \({\theta}_2 < y < \infty\)  gäller   \(f(y)=0\).

Slutsatsen blir att \(f(y) \geq 0\) för alla värden på y (i alla tre områdena.)

Visar att totala arean under f(y) är 1, dvs att \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \ dy =1\):

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \ dy =\int_{{\theta}_1}^{{\theta}_2} \textstyle \frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} \ dy=\) \(\displaystyle \left[ \textstyle \frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} y \right]_{{\theta}_1}^{{\theta}_2} =\) \(\frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} \cdot {\theta}_2 – \frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} \cdot {\theta}_1=\) \(\frac{{\theta}_2-{\theta}_1}{{\theta}_2-{\theta}_1}=1\)
 

Väntevärde:   \(E(Y)=\frac{{\theta}_1+{\theta}_2}{2}\)
 

Varians:   \(V(Y)=\frac{({\theta}_2-{\theta}_1)^2}{12}\)

Övningar

Exempel 10

10a) Bestäm väntevärdet för slumpvariabeln Y som anger positionen för den första regndroppen.

10b) Härled allmänt formeln för E(Y) för en likformig kontinuerlig fördelning.
 

10c) Bestäm variansen för slumpvariabeln Y som anger positionen för den första regndroppen.

10d) Härled allmänt formeln för V(Y) för en likformig kontinuerlig fördelning.
 

Ledning
10b och 10d)   Du behöver följande räkneregler:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)   (konjugatregeln),
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\),
samt även de två kvadreringsreglerna
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)   och \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

För 10b kan du även kolla bokens härledning (sats 4.6)

Svar Exempel 10

10a) \(E(Y)=2\)

10c) \(V(Y)=1.333…\)