Chapter 4 Continous Random Variables
Kapitel 4.4-4.7: Speciella kontinuerliga sannolikhetsfördelningar
Vissa sannolikhetsfördelningar är så vanligt förekommande, att de fått egna namn.
Vi har haft några exempel på sannolikhetsfördelningar tidigare i kapitel 4, t.ex. exempel 3. Slumpvariabeln \(Y\) hade följande täthetsfunktion: \(f(y)=0.046875y^2, \ \ 0 \leq y \leq 4\).
Den sannolikhetsfördelningen har inget eget namn, men nu ska vi presentera några välkända fördelningar med egna namn:
Likformig kontinuerlig fördelning i kapitel 4.4
Exponentialfördelning se nedan och kapitel 4.6
Gammafördelning i kapitel 4.6
Normalfördelning i kapitel 4.5
(Betafördelning i kapitel 4.7 tas inte upp i kursen)
Vi kommer att gå igenom i vilka situationer som de olika fördelningarna kan användas. Utgående från situation kommer vi att härleda motsvarande formel för f(y).
Vi kommer också att behöva formler för väntevärde och varians/standardavvikelse, Dessa formler kommer vi i flera fall att härleda.
Likformig kontinuerlig fördelning (kap 4.4)
Exempel (använt tidigare i kap 4)
Ta en 4 dm lång bräda och sätt en skala utefter långsidan där du markerar 0-4. Just innan det ska regna placerar du brädan på marken. Vänta tills den första regndroppen träffar brädan och kolla vilken position på skalan 0-4 som droppen hamnat mittför.
Låt Y = positionen för den första regndroppen.
Då säger man att Y följer en Likformig kontinuerlig fördelning.
Om sannolikhetsfördelningen
Sannolikhetsfördelningen beskrivs av följande täthetsfunktion: \(f(y)=\frac{1}{4}, \ \ 0 \leq y \leq 4\).
Värdet 0.25 (1/4) förklaras av att den totala arean under täthetsfunktionen för \(0 \leq y \leq 4\) ska bli 1; se figuren:
En likformig sannolikhetsfördelning som är kontinuerlig kallas också rektangelfördelning eftersom täthetsfunktionen får utseendet hos en rektangel.
Allmänt
Om Y har en likformig kontinuerlig fördelning (Rektangelfördelning) med \({\theta}_1 \leq y \leq {\theta}_2\) skriver vi \(Y \sim Re({\theta}_1,{\theta}_2)\).
(Likformig innebär att alla värden mellan \({\theta}_1\) och \({\theta}_2\) är lika sannolika. )
Om beteckningen Re
En vanligare beteckning för denna fördelning är U, men vi har redan använt den beteckningen för likformig diskret fördelning i kapitel 3.
Allmänna egenskaper för \(Y \sim Re({\theta}_1,{\theta}_2)\)
Täthetsfunktion: \(f(y)=\frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1}, \ \ {\theta}_1 \leq y \leq {\theta}_2\)
Visar att \(f(y) \geq 0\) för \(-\infty < y < \infty\):
-
För \(-\infty < y < {\theta}_1\) gäller \(f(y)=0\).
-
För \({\theta}_1 \leq y \leq {\theta}_2\) gäller \(f(y) =\frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1}\), vilket är ett positivt tal, eftersom \({\theta}_1 < {\theta}_2\)
-
För \({\theta}_2 < y < \infty\) gäller \(f(y)=0\).
Slutsatsen blir att \(f(y) \geq 0\) för alla värden på y (i alla tre områdena.)
Visar att totala arean under f(y) är 1, dvs att \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \ dy =1\):
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \ dy =\int_{{\theta}_1}^{{\theta}_2} \textstyle \frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} \ dy=\) \(\displaystyle \left[ \textstyle \frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} y \right]_{{\theta}_1}^{{\theta}_2} =\) \(\frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} \cdot {\theta}_2 – \frac{1}{{\theta}_2-{\theta}_1} \cdot {\theta}_1=\) \(\frac{{\theta}_2-{\theta}_1}{{\theta}_2-{\theta}_1}=1\)
Väntevärde: \(E(Y)=\frac{{\theta}_1+{\theta}_2}{2}\)
Varians: \(V(Y)=\frac{({\theta}_2-{\theta}_1)^2}{12}\)
Övningar
Exempel 10
10a) Bestäm väntevärdet för slumpvariabeln Y som anger positionen för den första regndroppen.
10b) Härled allmänt formeln för E(Y) för en likformig kontinuerlig fördelning.
10c) Bestäm variansen för slumpvariabeln Y som anger positionen för den första regndroppen.
10d) Härled allmänt formeln för V(Y) för en likformig kontinuerlig fördelning.
Ledning
10b och 10d) Du behöver följande räkneregler:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) (konjugatregeln),
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\),
samt även de två kvadreringsreglerna
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) och \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
För 10b kan du även kolla bokens härledning (sats 4.6)
Svar Exempel 10
10a) \(E(Y)=2\)
10c) \(V(Y)=1.333…\)
// add bootstrap table styles to pandoc tables $(document).ready(function () { $('tr.header').parent('thead').parent('table').addClass('table table-condensed'); });