Samtliga exempel

En lista med alla exempel som förekommit i genomgången av kapitel 2 (under “Lektioner”).

 

Exempel 1 : Bestäm utfallsrummet för följande slumpförsök: Kasta ett mynt två gånger och notera dina resultat.

 

Exempel 2: Slumpförsöket är att kasta en sexsidig tärning.
2a) Bestäm S
2b) Bestäm händelsen A : “få udda resultat”
2c) Bestäm händelsen \(\bar{A}\)

 

Exempel 3: Avgör om följande uppsättning av händelser är parvis disjunkta:

\(A_1=\{1\}, \: A_2=\{2,5\}, \:\) \(A_3=\{3,4\}\)

 

Exempel 4: Avgör om följande funktion P skulle kunna fungera som en sannolikhetsfunktion, enligt Kolmogorovs axiom:

För utfallsrummet \(S=\{1,2,3\}\) ; sannolikhetsfunktionen P som uppfyller följande:
\(P(\{1,2\})=0.6, \:\:\) \(P (\{2,3\})=0.6, \:\:\) \(P (\{2\})=0.3\)

 

Exempel 5: Om du äger 2 par byxor och 3 skjortor, på hur många sätt kan du klä dig?

 

Exempel 6a: Du har tillgång till bokstäverna A,B,C,D,E och ska göra koder bestående av tre bokstäver.
Möjliga koder är då AAA, AAB, o.s.v.
Hur många utfall blir det?

 

Exempel 6b: Du har tillgång till bokstäverna A,B,C,D,E och ska göra koder bestående av tre bokstäver.
Men nu tänker vi oss att du bara har tillgång till en bokstav av varje sort.
Möjliga koder är då ABC, ABD, o.s.v. Hur många utfall blir det?

 

Exempel 7: Du har tillgång till bokstäverna A,B,C,D,E men du har bara tillgång till en bokstav av varje sort.
Den här gången ska du bara välja ut tre kombinationer av bokstäver; inte göra koder av dem.
Så om du t.ex. väljer bokstäverna A,B,D finns bara en kombination.
Hur många utfall blir det?

 

Exempel 8: Antag att vi har en skolklass med 25 elever.

8a) Hur många utfall finns det för att välja ut 4 elever bland dessa, som ska hjälpa läraren att hämta böcker?

8b) Hur många utfall finns det för att välja ut en styrelse bestående av ordförande, sekreterare, kassör och informationsansvarig?

 

Exempel 9: Slumpförsöket är att kasta en sexsidig tärning.
Händelsen A : “få udda resultat” ges av \(A=\{1,3,5\}\).

Händelsen B : “få högt resultat” ges av \(B=\{4,5,6\}\).

9a) Bestäm \(P(A)\) (Inget villkor; hela utfallsrummet är tillgängligt)

9b) Bestäm \(P(A|B)\)   (Utfallsrummet har reducerats till B).

Exempel 9b igen, med användning av formel (1):    \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

 

Exempel 10

Bilden visar populationen i en liten by där man bl.a. odlar apelsiner.
Varje punkt är en individ; det bor alltså 25 personer i byn.

Betrakta nu följande slumpförsök: Välj ut en person från byn slumpmässigt.
Låt A vara händelsen att “personen tycker om apelsiner”.
Låt B vara händelsen att “personen är ett barn (ej fyllt 16 år)”.

Beräkna med hjälp av den bildmässiga beskrivningen av byn följande uppgifter:

10a): \(P(A)\)

10b): \(P(A|B)\)

 

Exempel 11 (Är Exempel 10 med alternativ lösning)
Gör en korstabell för att lösa uppgifterna:
11a): \(P(A)\)
11b): \(P(A|B)\)
11c): \(P(A\cap B)\)
11d): \(P(A\cap \bar{B})\)
11e): \(P(\bar{B} | A)\)
11f): \(P(\bar{B})\)

 

Exempel 12: I en låda ligger 25 glödlampor, varav 5 är trasiga. (Dålig idé att lägga i de trasiga i samma låda, egentligen!) Plocka upp två lampor ur lådan på måfå. Vad är sannolikheten att båda är trasiga?

“ÖVNINGSEXEMPEL”

Fem bollar, varav 3 röda och 2 gröna ska placeras i fem fack:

 |   |   |   |   |   |

På hur många olika sätt kan resultat se ut, dvs hur många olika sätt finns det att välja positioner för de två färgerna?
(Vi tänker oss att de tre röda bollarna är likadana, och att även de två gröna bollarna är likadana.)

 

Exempel nummerlös
Är händelserna A, B i exemplet med “apelsin-byn” ovan oberoende?

 

Exempel 13: Beräkna sannolikheten att inte få någon sexa när man kastar två tärningar.

 

Exempel 14: Kasta två tärningar 24 gånger. Beräkna sannolikheten att du vid minst ett av dina kast får en dubbelsexa (två sexor).

 

Exempel 15: Avgör om följande händelser vid kast med en tärning är oberoende:

Händelsen A : “få udda resultat” som ges av \(A=\{1,3,5\}\).

Händelsen B : “få högt resultat” som ges av \(B=\{4,5,6\}\).

 

Exemplet med de tre byarna
Detta handlar om tre olika apelsin-odlande byar. Med hjälp av den information du får om byarna, ska du lista ut hur stor andel det är som tycker om apelsiner.
Samma beteckningar som i Exempel 10 används; A för “tycker om apelsiner”, och B  för “är barn”.

Uppgiften i samtliga tre deluppgifter är alltså att bestämma P(A).

By a) Du får givet att \(P(A|B)=0.80\) och \(P(A|\bar{B})=0.80\).

By b) Du får givet att \(P(A|B)=0.80\) och \(P(A |\bar{B})=0.60\),
och att P(B)=0.50.

By c) Du får givet att \(P(A|B)=0.80\) och \(P(A |\bar{B})=0.60\),
och att P(B)=0.25.

 

Exempel 16

I ett stort bageri har man tre maskiner som tillverar degbitar för bröd. Maskin A står för 50 % av produktionen, maskin B står för 30 % av produktionen och maskin C står för 20 % av produktionen.
Maskinerna fungerar ganska bra, men ibland råkar det komma ut en för liten degbit.
Från maskin A (som är snabbast) blir 4 % av degbitarna för små, från maskin B blir 2 % för små, och från maskin C blir bara 1 % för små.

16a) Hur många procent av alla bageriets degbitar är för små?

16b) Du har hittat en för liten degbit på en plåt, och du vet inte från vilken maskin den kom. Hur stor är sannolikheten att den kom från maskin A?