Grunder

Vill du ha en mer grundläggande genomgång av detta rekommenderas följande länk:

[http://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/mangdlara/begreppet-mangd]

Mer mängdlära

Begreppen union och snitt. Om du behöver repetera dessa, kolla t.ex. följande länk:

[http://www.matteguiden.se/matte-diskret/mangdlara/mangder/]

Geometrisk summa

Länk: [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/geometriska-talfoljder]

Där visas bl.a. att \(a+a\cdot k + a\cdot k^2 + a\cdot k^3=\frac{a\cdot(k^4-1)}{k-1}\), vilket också kan skrivas som

\(\displaystyle\sum_{y=1}^{4} a\cdot k^{y-1} =\frac{a\cdot(k^4-1)}{k-1}\)

Om det är så att -1 < k < 1, och vi har oändligt antal termer istället för 4 termer får vi att \(a+a\cdot k + a\cdot k^2 + … \ \ =\frac{a\cdot(0-1)}{k-1}=\frac{a}{1-k}\)

Detta resultat kan också skrivas såhär:

\(\displaystyle\sum_{y=1}^{\infty} a\cdot k^{y-1}= \frac{a}{1-k}\)

Gränsvärden

Här intresserar vi oss för ett intressant gränsvärde:

Vad blir \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \textstyle \left( 1- \frac{5}{n}\right)^n\) ?

Du kan ju prova dig fram lite själv, men det är nog svårt att känna igen svaret.
Med “att prova sig fram” menar jag att stoppa in större och större tal istället för n i uttrycket \(\left( 1- \frac{5}{n}\right)^n\)

Om du vill se en kort introduktion till begreppet gränsvärde och symbolen lim, kolla följande länk:

[http://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/polynom-och-ekvationer/gransvarde]

Det finns ett speciellt intressant gränsvärde som inte nämns i länken ovan, och det är att \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \textstyle \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n=e\)
En länk om detta gränsvärde:

[https://www.khanacademy.org/economics-finance-domain/core-finance/interest-tutorial/cont-comp-int-and-e/v/e-as-limit]

Ungefär motsvarande på svenska (första halvan av denna video), länk:

[https://www.youtube.com/watch?v=44Stsq9oJD8]

För den som är mer intresserad: Lite mer teoretiskt perspektiv, utgående från en annan egenskap hos det intressanta talet e. Länk:

[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma122/elimit.pdf]

Om vi nu har accepterat att \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \textstyle \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n=e\), så är det förhoppningsvis möjligt att inse att därav följer även
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \textstyle \left( 1+ \frac{t}{n}\right)^n=e^t\)
Tillämpar vi detta på \(t=-5\) får vi att \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \textstyle \left( 1+ \frac{-5}{n}\right)^n=e^{-5}\),

vilket är detsamma som att \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \textstyle \left( 1- \frac{5}{n}\right)^n=e^{-5}\)

Maclaurin-utveckling

Vi ska kolla på en sorts summa som kallas Maclaurin-utveckling. Nästan alla funktioner går att skriva om som polynom, om man tar med oändligt många termer.

Vill du veta hur man skapar sådana så kallade Maclaurin-polynom, kan du kolla följande video, länk:

[https://www.youtube.com/watch?v=u_Rwp_YQNrA]

I videon får man följande resultat för en allmän funktion \(f(x)\):
Maclaurinpolynomet av ordning(grad) n till funktionen \(f\) ges av följande formel:
\(P_n(x)=f(0)+f'(0) x+\frac{f”(0)}{2} x^2+\) \(\frac{f^{(3)}(0)}{3 \ !} x^3 + \cdot \cdot \cdot +\) \(\frac{f^{(n)}(0)}{n \ !} x^n\)

Exempel: Maclaurinpolynomet av grad 4 till funktionen \(e^x\) blir
\(P_4(x)=1+ x+\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{6 } x^3 + \frac{1}{24} x^4\).
(Detta är det fjärdegradspolynom som bäst följer kurvan \(y=e^x\) i närheten av den punkt där \(x=0\))

Om man tar fram ett Maclaurinpolynom av oändlig grad, får man en exakt likhet enligt nedan.
Summan till höger om likamedtecknet kallas för Maclaurin-utvecklingen av funktionen \(e^x\)

\(e^x=1+ x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3 \ !} + \cdot \cdot \cdot\)

(Så t.ex. blir \(e^{0.3}=1+ 0.3+\frac{0.3^2}{2}+\frac{0.3^3}{3 \ !} + \cdot \cdot \cdot\))

Eftersom \(\frac{x^0}{0 \ !}=1\) och \(\frac{x^1}{1 \ !}=1\), kan vi skriva Maclaurin-utvecklingen såhär också:

\(e^x=\frac{x^0}{0 \ !}+ \frac{x^1}{1 \ !}+\frac{x^2}{2 \ !}+\frac{x^3}{3 \ !} + \cdot \cdot \cdot=\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i \ !}\)

Vi gör följande tillägg till de två länkarna om integraler:

I länken “Primitiv funktion” lärde du dig bland annat följande:

Ett alternativt skrivsätt för dessa regler är:

\(\int 1 \ \ dy=y+C\)

\(\int y \ \ dy=\frac{y^2}{2}+C\)

\(\int y^2 \ \ dy=\frac{y^3}{3}+C\)

\(\int e^{ky} \ \ dy=\frac{e^{ky}}{k}+C\)

Övningar

Exempel 1e    Bestäm \(\int 6y^2 \ dy\)

Exempel 1f    Bestäm \(\displaystyle \int_1^3 6y^2 \ dy\)

Exempel 1g    Bestäm \(\int e^{4y} \ dy\)

Exempel 1h    Bestäm \(\displaystyle \int_0^2 e^{4y} \ dy\)

Svar

1e    \(2y^3+C\)

1f    \(52\)

1g    \(\frac{e^{4y}}{4}+C=\frac{1}{4} e^{4y}+C=0.25e^{4y}+C\)   (Välj det svar du tycker är snyggast)

1h    \(\frac{e^8-1}{4} \approx 745\)

En skillnad: Förskjutningen

Förskjutningen mellan n-fakultet och Gammafunktionen kan uttryckas såhär:
\(\Gamma(n)=(n-1)!\)

(Variabeln n används normalt för att beteckna heltal)

Exempel:   \(\Gamma(4)=3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6\)

Likhet: En viktig egenskap

Egenskapen \(\Gamma (x+1)=x \cdot \Gamma (x)\) gäller för alla värden, inte bara heltalen!

Exempel heltal: \(\Gamma(5)=4 \cdot \Gamma(4)\)

Kom ihåg att \(\Gamma(5)=4!=24\) och att \(\Gamma(4)=6\)

Exempel ej heltal: \(\Gamma(2.8)=1.8 \cdot \Gamma(1.8)\)

Om du kollar i tabellen ser du att \(\Gamma(2.8) \approx 1.6765\) och att \(\Gamma(1.8) \approx 0.9314\)

Och \(1.8 \cdot 0.9314\) blir \(1.6765\)

Övningar

12a) Skriv ut den integral som ger värdet för \(\Gamma(2.4)\)

12b) Vilket värde har \(\alpha\) i \(\Gamma(\alpha)\) om \(\Gamma(\alpha)=\displaystyle \int_0^{\infty} y^5e^{-y}\ dy\)

Svar

12a)    \(\Gamma(2.4) =\displaystyle \int_0^{\infty} y^{1.4}e^{-y}\ dy\)   eller   \(\Gamma(2.4) =\displaystyle \int_0^{\infty} t^{1.4}e^{-t}\ dt\)

12b)   \(\alpha=6\)